Comptes rendus sur la littérature ancienne et moderne de toutes les nations

Mot-clefgéométrie euclidienne : sujet

Proclus, « Les Commentaires sur le premier livre des “Éléments” d’Euclide »

éd. D. de Brouwer, coll. de travaux de l’Académie internationale d’histoire des sciences, Bruges

éd. D. de Brouwer, coll. de travaux de l’Académie internationale d’histoire des sciences, Bruges

Il s’agit des « Commentaires sur les “Éléments” d’Euclide » par Proclus de Lycie *, l’un des derniers chefs de l’École d’Athènes (Ve siècle apr. J.-C.). Le plus grand — pour ne pas dire l’unique — intérêt de ces « Commentaires » réside dans le prologue de quatre-vingt-une pages par lequel ils s’ouvrent, et qui constitue un ouvrage à part. Proclus y expose ses vues sur la place générale des mathématiques dans l’économie du savoir ; puis, il y présente les origines et les progrès de cette science, en passant en revue les géomètres grecs qui se sont succédé de Thalès jusqu’à Euclide. De ce fait, Proclus est notre principale source pour l’histoire des mathématiques anciennes ; en dehors de lui, nous n’avons qu’un petit nombre de témoignages épars, qu’il nous serait impossible de coordonner sans le sien. Pour Proclus, comme pour Aristote qu’il cite, les mathématiques ne débutent ni en Grèce, ni en quelque endroit privilégié ; il serait étrange, en effet, qu’un savoir aussi spécifiquement humain fût la propriété exclusive d’un seul peuple : « Selon toute vraisemblance », dit Aristote **, « les divers [savoirs] ont été développés aussi loin que possible, à plusieurs reprises et chaque fois perdus ». Cela n’empêche pas Proclus de saluer l’apport spécifique des Grecs, qui est d’avoir posé les mathématiques sur leur vrai plan, de les avoir hardiment définies comme abstraites et purement rationnelles, comme libres et désintéressées à l’égard de l’utilité pratique : « On admirera », dit Proclus ***, « les modes variés de raisonnements [de notre pays] qui [convainquent] tantôt en partant des causes, tantôt en émanant de preuves ; mais qui sont tous incontestables et appropriés à la science. On admirera aussi ses procédés dialectiques… Mentionnons finalement la continuité des inventions, la répartition et l’ordre des prémisses, [et] le talent avec lequel chacune [des] réciproques est présentée. D’ailleurs, ne sait-on pas qu’en leur ajoutant ou en leur retranchant quelque chose, on s’éloigne de la science et qu’on est enclin à une erreur contradictoire et à l’ignorance ? » La question de savoir où Proclus a pris ses renseignements historiques offre un problème intéressant à résoudre pour les spécialistes. Ces derniers pensent qu’il n’a pas consulté de première main les ouvrages mathématiques antérieurs à Euclide, et qu’il a emprunté à peu près tout à l’« Histoire géométrique » d’Eudème de Rhodes (aujourd’hui perdue) et à la « Théorie des mathématiques » de Géminus (malheureusement perdue aussi). Lisez la suite›

* En grec Πρόκλος ὁ Λύκιος. Autrefois transcrit Proclos ou Proklos.

** « Métaphysique », 1074b 10-12.

*** p. 62-63.

Euclide, « Les Éléments. Tome II »

éd. Presses universitaires de France, coll. Bibliothèque d’histoire des sciences, Paris

éd. Presses universitaires de France, coll. Bibliothèque d’histoire des sciences, Paris

Il s’agit des « Éléments » (« Ta Stoicheia » *) ou « Enseignement élémentaire » (« Hê Stoicheiôsis » **) d’Euclide d’Alexandrie ***, célèbre savant grec, dont le nom est pour la géométrie ce qu’est le nom d’Einstein pour la physique. La science grecque est essentiellement déductive. C’est avec elle que l’esprit humain conçoit, pour la première fois, la possibilité de poser un petit nombre de principes et d’en déduire un ensemble de vérités qui en soient la conséquence nécessaire. Les « Éléments » d’Euclide passent pour le modèle du genre. Ils débutent par une liste d’« axiomes » (c’est-à-dire de principes que l’on demande au lecteur d’admettre sans démonstration), énoncés de telle sorte qu’ils peuvent être acceptés par chacun ; tout en étant aussi peu nombreux que possible (environ une dizaine), ils suffisent à assurer la construction de tout l’édifice mathématique. Dans une première lecture, l’on serait tenté de croire qu’Euclide est l’inventeur de ce genre de construction. Il ne cite aucun nom de prédécesseur ; des propositions que nous désignons sous les noms de « théorème de Pythagore » ou « de Thalès » prennent place dans ses « Éléments » sans que soient rappelés ceux qui les ont énoncées en premier. Cependant, Euclide a beau ne pas citer ses sources, son œuvre décèle une diversité d’inspirations qui ne trompe pas ; elle n’est pas et ne saurait être l’œuvre d’une seule intelligence. Des géomètres plus anciens — Hippocrate de Chios ****, Hermotime de Colophon *****, Eudoxe de Cnide ******, Théétète d’Athènes *******, Theudios de Magnésie ******** — avaient écrit des « Éléments ». Le mérite d’Euclide est d’avoir réuni leurs démonstrations et surtout d’avoir composé un tout qui, par un enchaînement plus exact, fit oublier les ouvrages écrits avant le sien, qui devint le plus important sur cette matière. Voici ce qu’en dit Proclus dans ses « Commentaires aux “Éléments” » : « En rassemblant des “Éléments”, Euclide en a coordonné beaucoup d’Eudoxe, perfectionné beaucoup de Théétète et évoqué dans d’irréfutables démonstrations ceux que ses prédécesseurs avaient montrés d’une manière relâchée » Lisez la suite›

* En grec « Τὰ Στοιχεῖα ».

** En grec « Ἡ Στοιχείωσις ».

*** En grec Εὐκλείδης. Autrefois transcrit Euclides. On l’a longtemps confondu avec Euclide de Mégare, philosophe, « bien qu’ils n’aient pas été contemporains et qu’ils aient différé l’un de l’autre autant par leur genre d’esprit… que par la nature de leurs travaux » (Louis Figuier).

**** En grec Ἱπποκράτης ὁ Χῖος. Parfois transcrit Hippocrate de Chio. À ne pas confondre avec Hippocrate de Cos, le célèbre médecin, qui vécut à la même époque.

***** En grec Ἑρμότιμος ὁ Κολοφώνιος.

****** En grec Εὔδοξος ὁ Κνίδιος.

******* En grec Θεαίτητος ὁ Ἀθηναῖος.

******** En grec Θεύδιος ὁ Μάγνης.

Euclide, « Les Éléments. Tome I »

éd. Presses universitaires de France, coll. Bibliothèque d’histoire des sciences, Paris

éd. Presses universitaires de France, coll. Bibliothèque d’histoire des sciences, Paris

Il s’agit des « Éléments » (« Ta Stoicheia » *) ou « Enseignement élémentaire » (« Hê Stoicheiôsis » **) d’Euclide d’Alexandrie ***, célèbre savant grec, dont le nom est pour la géométrie ce qu’est le nom d’Einstein pour la physique. La science grecque est essentiellement déductive. C’est avec elle que l’esprit humain conçoit, pour la première fois, la possibilité de poser un petit nombre de principes et d’en déduire un ensemble de vérités qui en soient la conséquence nécessaire. Les « Éléments » d’Euclide passent pour le modèle du genre. Ils débutent par une liste d’« axiomes » (c’est-à-dire de principes que l’on demande au lecteur d’admettre sans démonstration), énoncés de telle sorte qu’ils peuvent être acceptés par chacun ; tout en étant aussi peu nombreux que possible (environ une dizaine), ils suffisent à assurer la construction de tout l’édifice mathématique. Dans une première lecture, l’on serait tenté de croire qu’Euclide est l’inventeur de ce genre de construction. Il ne cite aucun nom de prédécesseur ; des propositions que nous désignons sous les noms de « théorème de Pythagore » ou « de Thalès » prennent place dans ses « Éléments » sans que soient rappelés ceux qui les ont énoncées en premier. Cependant, Euclide a beau ne pas citer ses sources, son œuvre décèle une diversité d’inspirations qui ne trompe pas ; elle n’est pas et ne saurait être l’œuvre d’une seule intelligence. Des géomètres plus anciens — Hippocrate de Chios ****, Hermotime de Colophon *****, Eudoxe de Cnide ******, Théétète d’Athènes *******, Theudios de Magnésie ******** — avaient écrit des « Éléments ». Le mérite d’Euclide est d’avoir réuni leurs démonstrations et surtout d’avoir composé un tout qui, par un enchaînement plus exact, fit oublier les ouvrages écrits avant le sien, qui devint le plus important sur cette matière. Voici ce qu’en dit Proclus dans ses « Commentaires aux “Éléments” » : « En rassemblant des “Éléments”, Euclide en a coordonné beaucoup d’Eudoxe, perfectionné beaucoup de Théétète et évoqué dans d’irréfutables démonstrations ceux que ses prédécesseurs avaient montrés d’une manière relâchée » Lisez la suite›

* En grec « Τὰ Στοιχεῖα ».

** En grec « Ἡ Στοιχείωσις ».

*** En grec Εὐκλείδης. Autrefois transcrit Euclides. On l’a longtemps confondu avec Euclide de Mégare, philosophe, « bien qu’ils n’aient pas été contemporains et qu’ils aient différé l’un de l’autre autant par leur genre d’esprit… que par la nature de leurs travaux » (Louis Figuier).

**** En grec Ἱπποκράτης ὁ Χῖος. Parfois transcrit Hippocrate de Chio. À ne pas confondre avec Hippocrate de Cos, le célèbre médecin, qui vécut à la même époque.

***** En grec Ἑρμότιμος ὁ Κολοφώνιος.

****** En grec Εὔδοξος ὁ Κνίδιος.

******* En grec Θεαίτητος ὁ Ἀθηναῖος.

******** En grec Θεύδιος ὁ Μάγνης.