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Euclide, «Les Éléments. Tome II»

éd. Presses universitaires de France, coll. Bibliothèque d’histoire des sciences, Paris

éd. Presses uni­ver­si­taires de France, coll. Biblio­thèque d’histoire des sciences, Paris

Il s’agit des «Élé­ments» («Ta Stoi­cheia»*) ou «Ensei­gne­ment élé­men­taire» («Hê Stoi­cheiô­sis»**) d’Euclide d’Alexandrie***, célèbre savant grec, dont le nom est pour la géo­mé­trie ce qu’est le nom d’Einstein pour la phy­sique. La science grecque est essen­tiel­le­ment déduc­tive. C’est avec elle que l’esprit humain conçoit, pour la pre­mière fois, la pos­si­bi­li­té de poser un petit nombre de prin­cipes et d’en déduire un ensemble de véri­tés qui en soient la consé­quence néces­saire. Les «Élé­ments» d’Euclide passent pour le modèle du genre. Ils débutent par une liste d’«axiomes» (c’est-à-dire de prin­cipes que l’on demande au lec­teur d’admettre sans démons­tra­tion), énon­cés de telle sorte qu’ils peuvent être accep­tés par cha­cun; tout en étant aus­si peu nom­breux que pos­sible (envi­ron une dizaine), ils suf­fisent à assu­rer la construc­tion de tout l’édifice mathé­ma­tique. Dans une pre­mière lec­ture, l’on serait ten­té de croire qu’Euclide est l’inventeur de ce genre de construc­tion. Il ne cite aucun nom de pré­dé­ces­seur; des pro­po­si­tions que nous dési­gnons sous les noms de «théo­rème de Pytha­gore» ou «de Tha­lès» prennent place dans ses «Élé­ments» sans que soient rap­pe­lés ceux qui les ont énon­cées en pre­mier. Cepen­dant, Euclide a beau ne pas citer ses sources, son œuvre décèle une diver­si­té d’inspirations qui ne trompe pas; elle n’est pas et ne sau­rait être l’œuvre d’une seule intel­li­gence. Des géo­mètres plus anciens — Hip­po­crate de Chios****, Her­mo­time de Colo­phon*****, Eudoxe de Cnide******, Théé­tète d’Athènes*******, Theu­dios de Magné­sie******** — avaient écrit des «Élé­ments». Le mérite d’Euclide est d’avoir réuni leurs démons­tra­tions et sur­tout d’avoir com­po­sé un tout qui, par un enchaî­ne­ment plus exact, fit oublier les ouvrages écrits avant le sien, qui devint le plus impor­tant sur cette matière. Voi­ci ce qu’en dit Pro­clus dans ses «Com­men­taires aux “Élé­ments”» : «En ras­sem­blant des “Élé­ments”, Euclide en a coor­don­né beau­coup d’Eudoxe, per­fec­tion­né beau­coup de Théé­tète et évo­qué dans d’irréfutables démons­tra­tions ceux que ses pré­dé­ces­seurs avaient mon­trés d’une manière relâ­chée»*********.

Nous ne savons pas quelle fut la patrie d’Euclide; nous ne connais­sons guère mieux les évé­ne­ments de sa vie. Pro­clus nous apprend qu’il ouvrit une école de mathé­ma­tiques à Alexan­drie, sous le règne de Pto­lé­mée Ier (305-282 av. J.-C.), qui aimait à assis­ter en per­sonne à ses leçons. Mais ce roi s’aperçut bien­tôt que l’étude appro­fon­die d’une science s’alliait mal­ai­sé­ment avec les soins et les sou­cis du gou­ver­ne­ment. Aus­si, rebu­té par les dif­fi­cul­tés, il aurait un jour inter­pel­lé le maître en lui deman­dant s’il n’y avait pas une voie plus facile que celle des «Élé­ments». C’est à cette occa­sion qu’Euclide lui aurait répon­du qu’«il n’existait pas une voie royale en géo­mé­trie»**********. Cette libre réponse montre, d’une part, qu’Euclide n’était pas cour­ti­san; et de l’autre, que Pto­lé­mée ne trou­vait pas désa­gréable que les savants de son pays s’entretinssent fami­liè­re­ment avec lui.

célèbre savant grec, dont le nom est pour la géo­mé­trie ce qu’est le nom d’Einstein pour la phy­sique

Voi­là ce que nous savons sur Euclide. Il ne me reste qu’à rap­por­ter le juge­ment qu’ont por­té sur lui les hommes les plus com­pé­tents. Car­dan, en par­lant de l’«Ensei­gne­ment élé­men­taire», s’exprime ain­si : «La théo­rie d’Euclide est d’une fer­me­té inébran­lable, d’une per­fec­tion abso­lue. Elle émane de la lumière de la véri­té. Et seuls ceux qui la pos­sèdent, sont capables dans toutes les ques­tions ardues de dis­cer­ner le vrai du faux»***********. New­ton, après avoir rem­pli le monde de sa gloire, se plai­gnait «d’avoir eu le mal­heur de se méprendre étran­ge­ment, dès le com­men­ce­ment de ses études mathé­ma­tiques, en s’appliquant à la lec­ture des ouvrages de Des­cartes et des autres algé­bristes, avant d’avoir consi­dé­ré les “Élé­ments” d’Euclide avec cette atten­tion que mérite un aus­si excellent écri­vain»************. Enfin, au dire d’une bio­graphe*************, ce fut le livre des «Élé­ments» que le père de Pas­cal offrit à son fils, qui n’avait que douze ans : «Jamais enfant ne lut un roman avec plus d’avidité et de faci­li­té qu’il lut ce livre, lorsqu’on le lui eut mis entre les mains».

Il n’existe pas moins de quinze tra­duc­tions fran­çaises des «Élé­ments», mais s’il fal­lait n’en choi­sir qu’une seule, je choi­si­rais celle de M. Ber­nard Vitrac.

«Ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.

Diagramme

Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ· λέγω ὅτι ὅμοιόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒΔ, ΑΔΓ τριγώνων ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἔτι ἀλλήλοις.»
— Pro­po­si­tion dans la langue ori­gi­nale

«Si dans un tri­angle rec­tangle une per­pen­di­cu­laire est menée à par­tir de l’angle droit sur la base, les tri­angles qui sont contre la per­pen­di­cu­laire sont sem­blables, et au tri­angle entier, et entre eux.

Diagramme

Soit le tri­angle rec­tangle ABC ayant l’angle sous BAC droit, et que de A sur BC soit menée la per­pen­di­cu­laire AD. Je dis que cha­cun des tri­angles ABD, ADC est sem­blable au tri­angle entier ABC et aus­si l’un à l’autre.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de M. Vitrac

«Dans un tri­angle rec­tangle, la hau­teur abais­sée du som­met de l’angle droit sur l’hypoténuse divise celle-ci en deux tri­angles sem­blables entre eux et au tri­angle pri­mi­tif.

Diagramme

Soit ΑΒΓ un tri­angle rec­tangle en Α, et ΑΔ — sa hau­teur issue de Α (ΑΔ ΒΓ). Je dis que les tri­angles ΑΒΔ et ΑΔΓ sont sem­blables entre eux et au tri­angle pri­mi­tif ΑΒΓ.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de M. Georges Kayas (éd. du Centre natio­nal de la recherche scien­ti­fique (CNRS), Paris)

«La per­pen­di­cu­laire tirée de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle, au côté qui lui est oppo­sé, le divise en deux tri­angles qui lui sont sem­blables.

Diagramme

Si de l’angle droit ABC, on tire une per­pen­di­cu­laire BD, au côté oppo­sé AC; elle divi­se­ra le tri­angle rec­tangle ABC en deux tri­angles ADB, BDC, qui seront sem­blables ou équiangles au tri­angle ABC.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (XVIIe siècle)

«La per­pen­di­cu­laire abais­sée de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle, au côté oppo­sé, divise ce tri­angle en deux autres qui lui sont sem­blables.

Diagramme

La per­pen­di­cu­laire BD divise le tri­angle rec­tangle ABC en deux tri­angles ADB et BDC, qui sont sem­blables au tri­angle ABC.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, revue par Jacques Audierne (XVIIIe siècle)

«Si dans un tri­angle rec­tangle on mène une per­pen­di­cu­laire de l’angle droit sur la base, les tri­angles adja­cents à la per­pen­di­cu­laire sont sem­blables au tri­angle entier et sem­blables entre eux.

Diagramme

Soit le tri­angle rec­tangle ΑΒΓ, ayant l’angle droit ΒΑΓ; du point Α menons sur la base ΒΓ la per­pen­di­cu­laire ΑΔ; je dis que les tri­angles ΑΒΔ, ΑΔΓ sont sem­blables au tri­angle entier ΑΒΓ et sem­blables entre eux.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Fran­çois Pey­rard (XIXe siècle)

«Si de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle on abaisse une per­pen­di­cu­laire sur la base, elle le divi­se­ra en deux autres tri­angles, qui seront sem­blables entre eux, et au total.

Diagramme

Je sup­pose que le tri­angle ABC soit rec­tangle, et que de l’angle droit BAC on abaisse la ligne droite AD per­pen­di­cu­laire à la base BC. Cela étant, je dis pre­miè­re­ment que les deux tri­angles ABD, ADC, dans les­quels le tri­angle ABC est divi­sé, lui sont sem­blables.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Jacques Rohault (XVIIe siècle)

«(lacune)

Diagramme

Si au tri­angle rec­tangle ABC l’on mène de l’angle droit A, sur la base, une per­pen­di­cule [c’est-à-dire une per­pen­di­cu­laire] AD; les tri­angles ADC, ADB qui seront faits par la per­pen­di­cule, seront sem­blables entre eux, et au total ABC.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Georges Four­nier (XVIIe siècle)

«Si de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle on tire une per­pen­di­cu­laire sur la base, les tri­angles au long de la per­pen­di­cu­laire sont sem­blables au tout, et entre eux.

Diagramme

Soit le tri­angle rec­tangle HBG ayant l’angle H droit, duquel soit tirée la per­pen­di­cu­laire HD sur la base BG. (lacune)»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Jean Errard (XVIIe siècle)

«Si de l’angle droit d’un tri­angle, on tire une per­pen­di­cu­laire à la base d’icelui, icelle cou­pe­ra ledit tri­angle en deux tri­angles sem­blables entre eux et au grand.

Diagramme

Soit le tri­angle ABC, duquel l’angle A soit droit; et soit AD la per­pen­di­cu­laire sur la base BC. Je dis que les deux tri­angles ABD et ADC sont sem­blables entre eux, et à l’entier ABC.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Jacques Pele­tier (XVIIe siècle)

«Si de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle, on tire une per­pen­di­cu­laire sur la base, les tri­angles au long de la per­pen­di­cu­laire sont sem­blables au tout, et entre eux.

Diagramme

Soit le tri­angle rec­tangle BAD, et l’angle droit A, duquel soit menée la per­pen­di­cu­laire AC. Je dis que les tri­angles ABC et ADC sont équiangles au total [BAD], et entre eux, et par consé­quent sem­blables.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Didier Dou­not (XVIIe siècle)

«Si de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle on tire une per­pen­di­cu­laire sur la base, elle cou­pe­ra ice­lui tri­angle en deux autres tri­angles sem­blables entre eux, et au total.

Diagramme

Soit le tri­angle rec­tangle ABC, et l’angle droit A, duquel soit menée à la base BC la per­pen­di­cu­laire AD. Je dis que les tri­angles ABD et ADC, aux­quels est divi­sé ice­lui tri­angle ABC par la per­pen­di­cu­laire AD, sont sem­blables entre eux, et au total ABC.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Didier Hen­rion (XVIIe siècle)

«Si au tri­angle rec­tangle, l’on mène une ligne per­pen­di­cu­laire de l’angle droit, sur la base, les tri­angles qui sont de part et d’autre de la per­pen­di­cu­laire, sont sem­blables au tout, et entre eux.

Diagramme

Au tri­angle ABC, l’angle BAC soit droit, duquel soit menée la per­pen­di­cu­laire AD sur la base CB. Je dis que les tri­angles ADB, ADC sont sem­blables à tout le tri­angle ABC, et entre eux.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Pierre Le Mar­de­lé (XVIIe siècle)

«Si de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle on abaisse sur l’hypoténuse une per­pen­di­cu­laire, elle par­ta­ge­ra ce tri­angle en deux autres sem­blables entre eux, et sem­blables au tri­angle total.

Diagramme

HYPOTHÈSE.
Le ABC est rec­tangle en B;
BD est sur AC.
THÈSE.
Les ADB, BDC sont sem­blables entre eux, et cha­cun est aus­si sem­blable au total ABC.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Samuel König (XVIIIe siècle)

«Si au tri­angle rec­tangle, de l’angle droit à la base, est menée une per­pen­di­cu­laire, lors les tri­angles depuis la per­pen­di­cu­laire seront sem­blables au tout, puis après iceux mêmes seront sem­blables entre eux.

Diagramme

(lacune)»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Pierre For­ca­del (XVIe siècle)

«Si en un tri­angle rec­tangle on mène une ligne per­pen­di­cu­laire de l’angle droit sur la base, les tri­angles qui sont de part et d’autre de la per­pen­di­cu­laire, sont sem­blables au tout et entre eux.

Diagramme

HYPOTHÈSE.
BAC est ;
AD BC.
REQUIS À DÉMONTRER.
ADB, ADC, ABC sont équiangles entre eux.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Pierre Héri­gone (XVIe siècle)

«Si in rec­tan­gu­lo tri­an­gu­lo ab rec­to angu­lo ad basem per­pen­di­cu­la­ris duca­tur, ipsa ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gu­la simi­lia sunt et toti et inter se.

Diagramme

Sit tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ΑΒΓ, rec­tum habens ΒΑΓ angu­lum, et duca­tur ab Α ad ΒΓ per­pen­di­cu­la­ris ΑΔ; dico simile esse utrumque ipso­rum ΑΒΔ, ΑΔΓ tri­an­gu­lo­rum toti ΑΒΓ et insu­per inter se.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Fran­çois Pey­rard (XIXe siècle)

«(lacune)

Diagramme

Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo BAC ab angu­lo rec­to A in basem BC per­pen­di­cu­la­ris AD duc­ta sit; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gu­la ADC, ADB, tum toti tri­an­gu­lo ABC, tum ipsa ADC, ADB inter se sunt simi­lia.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du père Georges Four­nier (XVIIe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo ab angu­lo rec­to ad basem per­pen­di­cu­la­ris duca­tur, quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gu­la simi­lia et toti et inter se.

Diagramme

Sit tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ΑΒΓ, rec­tum habens angu­lum ΒΑΓ, et duca­tur ab Α ad ΒΓ per­pen­di­cu­la­ris ΑΔ; dico simile esse utrumque tri­an­gu­lo­rum ΑΒΔ, ΑΔΓ toti ΑΒΓ et inter se.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Johann Wil­helm Came­rer et Karl Frie­drich Hau­ber (XIXe siècle)

«(lacune)

Diagramme

Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo ABC, ad angu­lo rec­to BAC in basem BC per­pen­di­cu­la­ris AD duc­ta est; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gu­la ADB, ADC, tum toti tri­an­gu­lo ABC, tum ipsa inter se, simi­lia sunt.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine d’Isaac Bar­row (XVIIe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo ab angu­lo rec­to ad basem per­pen­di­cu­la­ris duci­tur, tri­an­gu­li ad per­pen­di­cu­la­rem posi­ti similes erunt et toti et inter se.

Diagramme

Sit tri­an­gu­lus rec­tan­gu­lus ΑΒΓ rec­tum habens angu­lum ΒΑΓ, et ab Α ad ΒΓ per­pen­di­cu­la­ris duca­tur ΑΔ. Dico utrumque tri­an­gu­lum ΑΒΔ, ΑΔΓ et toti ΑΒΓ et inter se similes esse.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Johan Lud­vig Hei­berg et Hein­rich Menge (XIXe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo ab angu­lo rec­to in basem duc­ta sit per­pen­di­cu­la­ris, quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gu­la, tum toti tri­an­gu­lo, tum inter se sunt simi­lia.

Diagramme

In tri­an­gu­lo ABC sit angu­lus BAC rec­tus, et ex A ad basem BC duca­tur per­pen­di­cu­la­ris AD. (lacune)»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du père Charles Mal­a­pert, dit Caro­lus Mal­a­per­tius (XVIIe siècle)

«(lacune)

Diagramme

In tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo ABC, per­pen­di­cu­la­ris AD ab angu­lo rec­to in basem duc­ta, secat tri­an­gu­lum in duo tri­an­gu­la ADB, ADC, quæ erunt et toti et inter se simi­lia.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Hen­rik Coets (XVIIe siècle)

«In rec­tan­gu­lo tri­an­gu­lo si ab angu­lo rec­to ad basem per­pen­di­cu­la­ris duca­tur, quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gu­la, et toti, et inter se simi­lia sunt.

Diagramme

Esto tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ABC rec­tum habens BAC, duca­turque ab A ad BC per­pen­di­cu­la­ris AD. Dico tri­an­gu­la ABD, ADC, et toti ABC, et inter se esse simi­lia.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Johann Lantz (XVIIe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo ex angu­lo rec­to ad basin per­pen­di­cu­la­ris demit­ta­tur; hæc divi­det tri­an­gu­lum in duo alia tri­an­gu­la quæ tum toti, quum inter se simi­lia erunt.

Diagramme

Sit tri­an­gu­lum ABC, rec­tum habens angu­lum in A ex quo demit­ta­tur ad basin BC per­pen­di­cu­la­ris AD. Dico per­pen­di­cu­la­rem istam AD divi­dere tri­an­gu­lum ABC in duo alia tri­an­gu­la ABD, ACD, quæ simi­lia sunt tum toti tri­an­gu­lo ABC, quum etiam inter se.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Nicolò di Mar­ti­no (XVIIIe siècle)

«Si ab ortho­go­nii angu­lo rec­to ad basin linea per­pen­di­cu­la­ris duca­tur, fient duo tri­an­gu­li par­tiales toti tri­an­gu­lo et sibi invi­cem similes…

Diagramme

Sit tri­go­nus ABC ortho­go­nius ejusque angu­lus A rec­tus a quo duca­tur AD per­pen­di­cu­la­ris ad basin. Dico quod uterque duo­rum tri­an­gu­lo­rum par­tia­lium qui sunt ABD, ADC simi­lis est tota­li tri­an­gu­lo ABC et unus eorum alte­ri.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Gio­van­ni Cam­pa­no, dit Cam­pa­nus de Novare (XIIIe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo, ab angu­lo rec­to in basin per­pen­di­cu­la­ris aga­tur; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gu­la, simi­lia sunt toti, et adin­vi­cem.

Diagramme

Esto rec­tan­gu­lum tri­an­gu­lum ABC, habens angu­lum qui sub BAC rec­tum; et a dato punc­to A, super datam rec­tam lineam BC, per­pen­di­cu­la­ris dedu­ca­tur AD. Cadet enim hujus­ce­mo­di per­pen­di­cu­la­ris, intra datum ABC tri­an­gu­lum; ipsumque in bina divi­det tri­an­gu­la. Si enim inci­de­ret extra, pro­duc­to BC latere usque ad ipsam per­pen­di­cu­la­rem, tri­an­gu­lum effi­ce­re­tur, cujus exte­rior angu­lus minor esset inter­iore et ex oppo­si­to, nempe acu­tus rec­to. Neque in alte­ru­trum late­rum aut AB aut AC pote­rit coin­ci­dere; duo enim angu­li ejus­dem tri­an­gu­li non essent binis rec­tis minores. Cadit igi­tur intra ABC tri­an­gu­lum.

Aio itaque ABD et ADC tri­an­gu­la, toti ABC, atque invi­cem fore simi­lia.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine d’Oronce Fine (XVIe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo, ab angu­lo rec­to in basin per­pen­di­cu­la­ris aga­tur; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gu­la, simi­lia sunt toti, et adin­vi­cem.

Diagramme

Sit tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ABC; rec­tum habens, eum qui sub BAC, angu­lum. Et exci­te­tur ab A in BC per­pen­di­cu­la­ris AD. Dico quod simile est utrumque ipso­rum ABD et ADC tri­an­gu­lo­rum, toti ABC, et insu­per adin­vi­cem.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Bar­to­lo­meo Zam­ber­ti (XVIe siècle)

«In tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo, per­pen­di­cu­la­ris duc­ta ab angu­lo rec­to, ad latus oppo­si­tum, divi­dit tri­an­gu­lum in duo tri­an­gu­la, toti tri­an­gu­lo simi­lia.

Diagramme

Tri­an­gu­li ABC, angu­lus [ACB] rec­tus sit; a quo ad latus oppo­si­tum AB, duca­tur per­pen­di­cu­la­ris CD. Dico fac­ta esse duo tri­an­gu­la BCD, ACD simi­lia toti tri­an­gu­lo ABC, hoc est, illi æquian­gu­la…»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (XVIIe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo, ab angu­lo rec­to ad basin per­pen­di­cu­la­ris duca­tur; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gu­la, et toti et inter se simi­lia sunt.

Diagramme

Sit tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ABC, rec­tum habens angu­lum BAC; et a punc­to A ad BC per­pen­di­cu­la­ris duca­tur AD. Dico tri­an­gu­la ABD, ADC toti tri­an­gu­lo ABC et inter se simi­lia esse.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Fede­ri­co Com­man­di­no (XVIe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo ab angu­lo rec­to ad basin per­pen­di­cu­la­ris duca­tur; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gu­la, et toti et inter se sunt simi­lia.

Diagramme

Sit tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ABC rec­tum habens angu­lum BAC; et a punc­to A ad BC per­pen­di­cu­la­ris duca­tur AD. Dico tri­an­gu­la ABD, ADC toti tri­an­gu­lo ABC simi­lia esse.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Fede­ri­co Com­man­di­no, revue par Joa­chim Fre­de­rik Ramus (XVIIIe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo, ab angu­lo rec­to ad basin per­pen­di­cu­la­ris duca­tur; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gu­la, et toti et inter se sunt simi­lia.

Diagramme

Sit tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ΑΒΓ, rec­tum habens angu­lum ΒΑΓ; et a punc­to Α ad ΒΓ per­pen­di­cu­la­ris duca­tur ΑΔ. Dico tri­an­gu­la ΑΒΔ, ΑΔΓ toti tri­an­gu­lo ΑΒΓ et inter se simi­lia esse.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Fede­ri­co Com­man­di­no, revue par David Gre­go­ry (XVIIIe siècle)

«Si in rec­tan­gu­lo tri­an­gu­lo ab angu­lo rec­to in basin per­pen­di­cu­la­ris duc­ta fue­rit; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gu­la, cum toti tri­an­gu­lo, tum ipsa inter se simi­lia sunt.

Diagramme

Des­cri­ba­tur tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum, demit­ta­tur etiam ab ejus angu­lo rec­to, ad suam sub­ten­sam linea per­pen­di­cu­la­ris. Dico quod par­tia­lia illa tri­an­gu­la, tota­li, atque etiam sibi ipsis, simi­lia sint.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Johann Scheu­bel (XVIe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo, ab angu­lo rec­to in basin per­pen­di­cu­la­ris duc­ta sit; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gu­la, tum toti tri­an­gu­lo, tum ipsa inter se simi­lia sunt.

Diagramme

In tri­an­gu­lo ABC, angu­lus BAC, sit rec­tus, a quo ad basin per­pen­di­cu­la­ris aga­tur AD. Dico tri­an­gu­la ADB, ADC, simi­lia esse et toti tri­an­gu­lo ABC, et inter se.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du père Chris­toph Cla­vius (XVIe siècle)

«(lacune)

Diagramme

Si in Tri­an­gu­lo ABC rec­tan­gu­lo, ab angu­lo A rec­to in basem BC per­pen­di­cu­la­ris AD duc­ta sit; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem Tri­an­gu­la BDA et ADC tum toti BAC Tri­an­gu­lo, tum ipsa inter se simi­lia sunt, BDA et ADC.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine d’Ambrosius Rhode (XVIIe siècle)

«(lacune)

Diagramme

In tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo BAC, si ab angu­lo rec­to A in basem BC demis­sa fue­rit per­pen­di­cu­la­ris AD; dico tri­an­gu­la BAD, DAC toti tri­an­gu­lo BAC, et inter se esse simi­lia.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Gemi­nia­no Ron­del­li (XVIIIe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo, ab angu­lo rec­to in basem per­pen­di­cu­la­ris aga­tur, quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gu­la, simi­lia sunt toti et adin­vi­cem.

Diagramme

Sit tri­an­gu­lum ABG habens angu­lum rec­tum A, a quo per­pen­di­cu­la­ris in basem demit­ta­tur AD. Dico tri­an­gu­la ABD et ADG simi­lia esse toti ABG, et adin­vi­cem.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Fran­çois de Foix, comte de Can­dale (XVIe siècle)

«(lacune)

Diagramme

Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo ABC ab angu­lo rec­to A ad basin BC per­pen­di­cu­la­ris AD duca­tur; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gu­la ADB, CDA et toti ABC et inter se sunt simi­lia.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Georg Frie­drich Bär­mann (XVIIIe siècle)

«(lacune)

Diagramme

Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo ABC ab angu­lo rec­to BAC in basin BC per­pen­di­cu­la­ris AD duc­ta sit; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gu­la ADB, ADC tum toti tri­an­gu­lo ABC, tum ipsa inter se simi­lia sunt.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Car­lo Edoar­do Filip­pa (XVIIe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo ab angu­lo rec­to duc­ta sit per­pen­di­cu­la­ris ad latus oppo­si­tum; resul­ta­bunt duo tri­an­gu­la simi­lia toti et inter se.

Diagramme

(lacune)»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du frère Elia Asto­ri­ni (XVIIe siècle)

«(lacune)

Diagramme

In tri­an­gu­lo ABC sit angu­lus A rec­tus, et AD, ad basin per­pen­di­cu­la­ris. Dico tri­an­gu­la ADB, ADC esse simi­lia toti.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du père Chris­toph Grien­ber­ger (XVIIe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo rec­tan­gu­lo, ab angu­lo rec­to in basin per­pen­di­cu­la­ris duc­ta sit : quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gu­la tum toti tri­an­gu­lo, tum ipsa inter se sunt simi­lia.

Diagramme

Ab angu­lo A rec­to tri­an­gu­li rec­tan­gu­li BAC, rec­ta linea AD demis­sa sit ad latus CB oppo­si­tum ipsi A rec­to angu­lo, ipsum latus CB seca­bit non pro­duc­tum in punc­to D ex inter­me­diis inter extre­ma ejus C et B. Asse­ro tri­an­gu­la duo resul­tan­tia ADC, ADB, com­mune latus haben­tia ipsam AD per­pen­di­cu­la­rem, esse et toti tri­an­gu­lo dato CAB, et inter se simi­lia.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du père Claude Richard (XVIIe siècle)

«Si in tri­an­gu­lo cum angu­lo rec­to duc­tum fue­rit per­pen­di­cu­lum, ab angu­lo rec­to ad basin, ea quæ ad per­pen­di­cu­lum tri­an­gu­la ita desi­gnan­tur, cum toti tri­an­gu­lo, tum ipsa inter se simi­lia sunt.

Diagramme

(lacune)»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Joa­chim Came­ra­rius (XVIe siècle)

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* En grec «Τὰ Στοιχεῖα». Haut

** En grec «Ἡ Στοιχείωσις». Haut

*** En grec Εὐκλείδης. Autre­fois trans­crit Euclides. On l’a long­temps confon­du avec Euclide de Mégare, phi­lo­sophe, «bien qu’ils n’aient pas été contem­po­rains et qu’ils aient dif­fé­ré l’un de l’autre autant par leur genre d’esprit… que par la nature de leurs tra­vaux» (Louis Figuier). Haut

**** En grec Ἱπποκράτης ὁ Χῖος. Par­fois trans­crit Hip­po­crate de Chio. À ne pas confondre avec Hip­po­crate de Cos, le célèbre méde­cin, qui vécut à la même époque. Haut

***** En grec Ἑρμότιμος ὁ Κολοφώνιος. Haut

****** En grec Εὔδοξος ὁ Κνίδιος. Haut

******* En grec Θεαίτητος ὁ Ἀθηναῖος. Haut

******** En grec Θεύδιος ὁ Μάγνης. Haut

********* En grec «…Εὐκλείδης ὁ “Τὰ Στοιχεῖα” συναγαγὼν καὶ πολλὰ μὲν τῶν Εὐδόξου συντάξας, πολλὰ δὲ τῶν Θεαιτήτου τελεωσάμενος, ἔτι δὲ τὰ μαλακώτερον δεικνύμενα τοῖς ἔμπροσθεν εἰς ἀνελέγκτους ἀποδείξεις ἀναγαγών». Haut

********** En grec «…μὴ εἶναι βασιλικὴν ἀτραπὸν ἐπὶ γεωμετρίαν». Haut

*********** «De sub­ti­li­tate», ch. 16. Haut

************ Hen­ry Pem­ber­ton, «Élé­ments de la phi­lo­so­phie new­to­nienne». Haut

************* Gil­berte Périer, «Pré­face au “Trai­té de l’équilibre des liqueurs et de la pesan­teur de la masse de l’air”». Haut