Euclide, « Les Éléments. Tome II »

Il s’agit des « Élé­ments » (« Ta Stoi­cheia » ¹) ou « En­sei­gne­ment élé­men­taire » (« Hê Stoi­cheiô­sis » ²) d’Euclide d’Alexandrie ³, cé­lèbre sa­vant grec, dont le nom est pour la géo­mé­trie ce qu’est le nom d’Einstein pour la phy­sique. La science grecque est es­sen­tiel­le­ment dé­duc­tive. C’est avec elle que l’esprit hu­main conçoit, pour la pre­mière fois, la pos­si­bi­lité de po­ser un pe­tit nombre de prin­cipes et d’en dé­duire un en­semble de vé­ri­tés qui en soient la consé­quence né­ces­saire. Les « Élé­ments » d’Euclide passent pour le mo­dèle du genre. Ils dé­butent par une liste d’« axiomes » (c’est-à-dire de prin­cipes que l’on de­mande au lec­teur d’admettre sans dé­mons­tra­tion), énon­cés de telle sorte qu’ils peuvent être ac­cep­tés par cha­cun ; tout en étant aussi peu nom­breux que pos­sible (en­vi­ron une di­zaine), ils suf­fisent à as­su­rer la construc­tion de tout l’édifice ma­thé­ma­tique. Dans une pre­mière lec­ture, l’on se­rait tenté de croire qu’Euclide est l’inventeur de ce genre de construc­tion. Il ne cite au­cun nom de pré­dé­ces­seur ; des pro­po­si­tions que nous dé­si­gnons sous les noms de « théo­rème de Py­tha­gore » ou « de Tha­lès » prennent place dans ses « Élé­ments » sans que soient rap­pe­lés ceux qui les ont énon­cées en pre­mier. Ce­pen­dant, Eu­clide a beau ne pas ci­ter ses sources, son œuvre dé­cèle une di­ver­sité d’inspirations qui ne trompe pas ; elle n’est pas et ne sau­rait être l’œuvre d’une seule in­tel­li­gence. Des géo­mètres plus an­ciens — Hip­po­crate de Chios ⁴, Her­mo­time de Co­lo­phon ⁵, Eu­doxe de Cnide ⁶, Théé­tète d’Athènes ⁷, Theu­dios de Ma­gné­sie ⁸ — avaient écrit des « Élé­ments ». Le mé­rite d’Euclide est d’avoir réuni leurs dé­mons­tra­tions et sur­tout d’avoir com­posé un tout qui, par un en­chaî­ne­ment plus exact, fit ou­blier les ou­vrages écrits avant le sien, qui de­vint le plus im­por­tant sur cette ma­tière. Voici ce qu’en dit Pro­clus dans ses « Com­men­taires aux “Élé­ments” » : « En ras­sem­blant des “Élé­ments”, Eu­clide en a co­or­donné beau­coup d’Eudoxe, per­fec­tionné beau­coup de Théé­tète et évo­qué dans d’irréfutables dé­mons­tra­tions ceux que ses pré­dé­ces­seurs avaient mon­trés d’une ma­nière re­lâ­chée » ⁹.

Nous ne sa­vons pas quelle fut la pa­trie d’Euclide ; nous ne connais­sons guère mieux les évé­ne­ments de sa vie. Pro­clus nous ap­prend qu’il ou­vrit une école de ma­thé­ma­tiques à Alexan­drie, sous le règne de Pto­lé­mée I^er (305-282 av. J.-C.), qui ai­mait à as­sis­ter en per­sonne à ses le­çons. Mais ce roi s’aperçut bien­tôt que l’étude ap­pro­fon­die d’une science s’alliait mal­ai­sé­ment avec les soins et les sou­cis du gou­ver­ne­ment. Aussi, re­buté par les dif­fi­cul­tés, il au­rait un jour in­ter­pellé le maître en lui de­man­dant s’il n’y avait pas une voie plus fa­cile que celle des « Élé­ments ». C’est à cette oc­ca­sion qu’Euclide lui au­rait ré­pondu qu’« il n’existait pas une voie royale en géo­mé­trie » ¹⁰. Cette libre ré­ponse montre, d’une part, qu’Euclide n’était pas cour­ti­san ; et de l’autre, que Pto­lé­mée ne trou­vait pas désa­gréable que les sa­vants de son pays s’entretinssent fa­mi­liè­re­ment avec lui.

cé­lèbre sa­vant grec, dont le nom est pour la géo­mé­trie ce qu’est le nom d’Einstein pour la phy­sique

Voilà ce que nous sa­vons sur Eu­clide. Il ne me reste qu’à rap­por­ter le ju­ge­ment qu’ont porté sur lui les hommes les plus com­pé­tents. Car­dan, en par­lant de l’« En­sei­gne­ment élé­men­taire », s’exprime ainsi : « La théo­rie d’Euclide est d’une fer­meté in­ébran­lable, d’une per­fec­tion ab­so­lue. Elle émane de la lu­mière de la vé­rité. Et seuls ceux qui la pos­sèdent, sont ca­pables dans toutes les ques­tions ar­dues de dis­cer­ner le vrai du faux » ¹¹. New­ton, après avoir rem­pli le monde de sa gloire, se plai­gnait « d’avoir eu le mal­heur de se mé­prendre étran­ge­ment, dès le com­men­ce­ment de ses études ma­thé­ma­tiques, en s’appliquant à la lec­ture des ou­vrages de Des­cartes et des autres al­gé­bristes, avant d’avoir consi­déré les “Élé­ments” d’Euclide avec cette at­ten­tion que mé­rite un aussi ex­cellent écri­vain » ¹². En­fin, au dire d’une bio­graphe ¹³, ce fut le livre des « Élé­ments » que le père de Pas­cal of­frit à son fils, qui n’avait que douze ans : « Ja­mais en­fant ne lut un ro­man avec plus d’avidité et de fa­ci­lité qu’il lut ce livre, lorsqu’on le lui eut mis entre les mains ».

Il n’existe pas moins de quinze tra­duc­tions fran­çaises des « Élé­ments », mais s’il fal­lait n’en choi­sir qu’une seule, je choi­si­rais celle de M. Ber­nard Vi­trac.

« Ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.

Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ· λέγω ὅτι ὅμοιόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒΔ, ΑΔΓ τριγώνων ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἔτι ἀλλήλοις. »
— Pro­po­si­tion dans la langue ori­gi­nale

« Si dans un tri­angle rec­tangle une per­pen­di­cu­laire est me­née à par­tir de l’angle droit sur la base, les tri­angles qui sont contre la per­pen­di­cu­laire sont sem­blables, et au tri­angle en­tier, et entre eux.

Soit le tri­angle rec­tangle ABC ayant l’angle sous BAC droit, et que de A sur BC soit me­née la per­pen­di­cu­laire AD. Je dis que cha­cun des tri­angles ABD, ADC est sem­blable au tri­angle en­tier ABC et aussi l’un à l’autre. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de M. Vi­trac

« Dans un tri­angle rec­tangle, la hau­teur abais­sée du som­met de l’angle droit sur l’hypoténuse di­vise celle-ci en deux tri­angles sem­blables entre eux et au tri­angle pri­mi­tif.

Soit ΑΒΓ un tri­angle rec­tangle en Α, et ΑΔ — sa hau­teur is­sue de Α (ΑΔ ⟂ ΒΓ). Je dis que les tri­angles ΑΒΔ et ΑΔΓ sont sem­blables entre eux et au tri­angle pri­mi­tif ΑΒΓ. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de M. Georges Kayas (éd. du Centre na­tio­nal de la re­cherche scien­ti­fique (CNRS), Pa­ris)

« La per­pen­di­cu­laire ti­rée de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle, au côté qui lui est op­posé, le di­vise en deux tri­angles qui lui sont sem­blables.

Si de l’angle droit ABC, on tire une per­pen­di­cu­laire BD, au côté op­posé AC ; elle di­vi­sera le tri­angle rec­tangle ABC en deux tri­angles ADB, BDC, qui se­ront sem­blables ou équiangles au tri­angle ABC. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (XVII^e siècle)

« La per­pen­di­cu­laire abais­sée de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle, au côté op­posé, di­vise ce tri­angle en deux autres qui lui sont sem­blables.

La per­pen­di­cu­laire BD di­vise le tri­angle rec­tangle ABC en deux tri­angles ADB et BDC, qui sont sem­blables au tri­angle ABC. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Au­dierne (XVIII^e siècle)

« Si dans un tri­angle rec­tangle on mène une per­pen­di­cu­laire de l’angle droit sur la base, les tri­angles ad­ja­cents à la per­pen­di­cu­laire sont sem­blables au tri­angle en­tier et sem­blables entre eux.

Soit le tri­angle rec­tangle ΑΒΓ, ayant l’angle droit ΒΑΓ ; du point Α me­nons sur la base ΒΓ la per­pen­di­cu­laire ΑΔ ; je dis que les tri­angles ΑΒΔ, ΑΔΓ sont sem­blables au tri­angle en­tier ΑΒΓ et sem­blables entre eux. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Fran­çois Pey­rard (XIX^e siècle)

« Si de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle on abaisse une per­pen­di­cu­laire sur la base, elle le di­vi­sera en deux autres tri­angles, qui se­ront sem­blables entre eux, et au to­tal.

Je sup­pose que le tri­angle ABC soit rec­tangle, et que de l’angle droit BAC on abaisse la ligne droite AD per­pen­di­cu­laire à la base BC. Cela étant, je dis pre­miè­re­ment que les deux tri­angles ABD, ADC, dans les­quels le tri­angle ABC est di­visé, lui sont sem­blables. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Jacques Ro­hault (XVII^e siècle)

« (la­cune)

Si au tri­angle rec­tangle ABC l’on mène de l’angle droit A, sur la base, une per­pen­di­cule [c’est-à-dire une per­pen­di­cu­laire] AD ; les tri­angles ADC, ADB qui se­ront faits par la per­pen­di­cule, se­ront sem­blables entre eux, et au to­tal ABC. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Georges Four­nier (XVII^e siècle)

« Si de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle on tire une per­pen­di­cu­laire sur la base, les tri­angles au long de la per­pen­di­cu­laire sont sem­blables au tout, et entre eux.

Soit le tri­angle rec­tangle HBG ayant l’angle H droit, du­quel soit ti­rée la per­pen­di­cu­laire HD sur la base BG. (la­cune) »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Jean Er­rard (XVII^e siècle)

« Si de l’angle droit d’un tri­angle, on tire une per­pen­di­cu­laire à la base d’icelui, icelle cou­pera le­dit tri­angle en deux tri­angles sem­blables entre eux et au grand.

Soit le tri­angle ABC, du­quel l’angle A soit droit ; et soit AD la per­pen­di­cu­laire sur la base BC. Je dis que les deux tri­angles ABD et ADC sont sem­blables entre eux, et à l’entier ABC. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Jacques Pe­le­tier (XVII^e siècle)

« Si de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle, on tire une per­pen­di­cu­laire sur la base, les tri­angles au long de la per­pen­di­cu­laire sont sem­blables au tout, et entre eux.

Soit le tri­angle rec­tangle BAD, et l’angle droit A, du­quel soit me­née la per­pen­di­cu­laire AC. Je dis que les tri­angles ABC et ADC sont équiangles au to­tal [BAD], et entre eux, et par consé­quent sem­blables. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Di­dier Dou­not (XVII^e siècle)

« Si de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle on tire une per­pen­di­cu­laire sur la base, elle cou­pera ice­lui tri­angle en deux autres tri­angles sem­blables entre eux, et au to­tal.

Soit le tri­angle rec­tangle ABC, et l’angle droit A, du­quel soit me­née à la base BC la per­pen­di­cu­laire AD. Je dis que les tri­angles ABD et ADC, aux­quels est di­visé ice­lui tri­angle ABC par la per­pen­di­cu­laire AD, sont sem­blables entre eux, et au to­tal ABC. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Di­dier Hen­rion (XVII^e siècle)

« Si au tri­angle rec­tangle, l’on mène une ligne per­pen­di­cu­laire de l’angle droit, sur la base, les tri­angles qui sont de part et d’autre de la per­pen­di­cu­laire, sont sem­blables au tout, et entre eux.

Au tri­angle ABC, l’angle BAC soit droit, du­quel soit me­née la per­pen­di­cu­laire AD sur la base CB. Je dis que les tri­angles ADB, ADC sont sem­blables à tout le tri­angle ABC, et entre eux. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Pierre Le Mar­delé (XVII^e siècle)

« Si de l’angle droit d’un tri­angle rec­tangle on abaisse sur l’hypoténuse une per­pen­di­cu­laire, elle par­ta­gera ce tri­angle en deux autres sem­blables entre eux, et sem­blables au tri­angle to­tal.

HYPOTHÈSE.
Le △ABC est rec­tangle en B ;
BD est ⟂ sur AC.
THÈSE.
Les △ADB, BDC sont sem­blables entre eux, et cha­cun est aussi sem­blable au △to­tal ABC. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Sa­muel Kö­nig (XVIII^e siècle)

« Si au tri­angle rec­tangle, de l’angle droit à la base, est me­née une per­pen­di­cu­laire, lors les tri­angles de­puis la per­pen­di­cu­laire se­ront sem­blables au tout, puis après iceux mêmes se­ront sem­blables entre eux.

(la­cune) »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Pierre For­ca­del (XVI^e siècle)

« Si en un tri­angle rec­tangle on mène une ligne per­pen­di­cu­laire de l’angle droit sur la base, les tri­angles qui sont de part et d’autre de la per­pen­di­cu­laire, sont sem­blables au tout et entre eux.

HYPOTHÈSE.
∠BAC est ∟ ;
AD ⟂ BC.
REQUIS À DÉMONTRER.
△ADB, △ADC, △ABC sont équiangles entre eux. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Pierre Hé­ri­gone (XVI^e siècle)

« Si in rec­tan­gulo tri­an­gulo ab recto an­gulo ad ba­sem per­pen­di­cu­la­ris du­ca­tur, ipsa ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gula si­mi­lia sunt et toti et in­ter se.

Sit tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ΑΒΓ, rec­tum ha­bens ΒΑΓ an­gu­lum, et du­ca­tur ab Α ad ΒΓ per­pen­di­cu­la­ris ΑΔ ; dico si­mile esse utrumque ip­so­rum ΑΒΔ, ΑΔΓ tri­an­gu­lo­rum toti ΑΒΓ et in­su­per in­ter se. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Fran­çois Pey­rard (XIX^e siècle)

« (la­cune)

Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo BAC ab an­gulo recto A in ba­sem BC per­pen­di­cu­la­ris AD ducta sit ; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gula ADC, ADB, tum toti tri­an­gulo ABC, tum ipsa ADC, ADB in­ter se sunt si­mi­lia. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du père Georges Four­nier (XVII^e siècle)

« Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo ab an­gulo recto ad ba­sem per­pen­di­cu­la­ris du­ca­tur, quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gula si­mi­lia et toti et in­ter se.

Sit tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ΑΒΓ, rec­tum ha­bens an­gu­lum ΒΑΓ, et du­ca­tur ab Α ad ΒΓ per­pen­di­cu­la­ris ΑΔ ; dico si­mile esse utrumque tri­an­gu­lo­rum ΑΒΔ, ΑΔΓ toti ΑΒΓ et in­ter se. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Jo­hann Wil­helm Ca­me­rer et Karl Frie­drich Hau­ber (XIX^e siècle)

« (la­cune)

Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo ABC, ad an­gulo recto BAC in ba­sem BC per­pen­di­cu­la­ris AD ducta est ; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gula ADB, ADC, tum toti tri­an­gulo ABC, tum ipsa in­ter se, si­mi­lia sunt. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine d’Isaac Bar­row (XVII^e siècle)

« Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo ab an­gulo recto ad ba­sem per­pen­di­cu­la­ris du­ci­tur, tri­an­guli ad per­pen­di­cu­la­rem po­siti si­miles erunt et toti et in­ter se.

Sit tri­an­gu­lus rec­tan­gu­lus ΑΒΓ rec­tum ha­bens an­gu­lum ΒΑΓ, et ab Α ad ΒΓ per­pen­di­cu­la­ris du­ca­tur ΑΔ. Dico utrumque tri­an­gu­lum ΑΒΔ, ΑΔΓ et toti ΑΒΓ et in­ter se si­miles esse. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Jo­han Lud­vig Hei­berg et Hein­rich Menge (XIX^e siècle)

« Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo ab an­gulo recto in ba­sem ducta sit per­pen­di­cu­la­ris, quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gula, tum toti tri­an­gulo, tum in­ter se sunt si­mi­lia.

In tri­an­gulo ABC sit an­gu­lus BAC rec­tus, et ex A ad ba­sem BC du­ca­tur per­pen­di­cu­la­ris AD. (la­cune) »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du père Charles Mal­a­pert, dit Ca­ro­lus Mal­a­per­tius (XVII^e siècle)

« (la­cune)

In tri­an­gulo rec­tan­gulo ABC, per­pen­di­cu­la­ris AD ab an­gulo recto in ba­sem ducta, se­cat tri­an­gu­lum in duo tri­an­gula ADB, ADC, quæ erunt et toti et in­ter se si­mi­lia. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Hen­rik Coets (XVII^e siècle)

« In rec­tan­gulo tri­an­gulo si ab an­gulo recto ad ba­sem per­pen­di­cu­la­ris du­ca­tur, quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gula, et toti, et in­ter se si­mi­lia sunt.

Esto tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ABC rec­tum ha­bens BAC, du­ca­turque ab A ad BC per­pen­di­cu­la­ris AD. Dico tri­an­gula ABD, ADC, et toti ABC, et in­ter se esse si­mi­lia. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Jo­hann Lantz (XVII^e siècle)

« Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo ex an­gulo recto ad ba­sin per­pen­di­cu­la­ris de­mit­ta­tur ; hæc di­vi­det tri­an­gu­lum in duo alia tri­an­gula quæ tum toti, quum in­ter se si­mi­lia erunt.

Sit tri­an­gu­lum ABC, rec­tum ha­bens an­gu­lum in A ex quo de­mit­ta­tur ad ba­sin BC per­pen­di­cu­la­ris AD. Dico per­pen­di­cu­la­rem is­tam AD di­vi­dere tri­an­gu­lum ABC in duo alia tri­an­gula ABD, ACD, quæ si­mi­lia sunt tum toti tri­an­gulo ABC, quum etiam in­ter se. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Ni­colò di Mar­tino (XVIII^e siècle)

« Si ab or­tho­go­nii an­gulo recto ad ba­sin li­nea per­pen­di­cu­la­ris du­ca­tur, fient duo tri­an­guli par­tiales toti tri­an­gulo et sibi in­vi­cem si­miles…

Sit tri­go­nus ABC or­tho­go­nius ejusque an­gu­lus A rec­tus a quo du­ca­tur AD per­pen­di­cu­la­ris ad ba­sin. Dico quod uterque duo­rum tri­an­gu­lo­rum par­tia­lium qui sunt ABD, ADC si­mi­lis est to­tali tri­an­gulo ABC et unus eo­rum al­teri. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Gio­vanni Cam­pano, dit Cam­pa­nus de No­vare (XIII^e siècle)

« Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo, ab an­gulo recto in ba­sin per­pen­di­cu­la­ris aga­tur ; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gula, si­mi­lia sunt toti, et adin­vi­cem.

Esto rec­tan­gu­lum tri­an­gu­lum ABC, ha­bens an­gu­lum qui sub BAC rec­tum ; et a dato puncto A, su­per da­tam rec­tam li­neam BC, per­pen­di­cu­la­ris de­du­ca­tur AD. Ca­det enim hu­jus­ce­modi per­pen­di­cu­la­ris, in­tra da­tum ABC tri­an­gu­lum ; ip­sumque in bina di­vi­det tri­an­gula. Si enim in­ci­de­ret ex­tra, pro­ducto BC la­tere usque ad ip­sam per­pen­di­cu­la­rem, tri­an­gu­lum ef­fi­ce­re­tur, cu­jus ex­te­rior an­gu­lus mi­nor es­set in­ter­iore et ex op­po­sito, nempe acu­tus recto. Neque in al­te­ru­trum la­te­rum aut AB aut AC po­te­rit coin­ci­dere ; duo enim an­guli ejus­dem tri­an­guli non essent bi­nis rec­tis mi­nores. Ca­dit igi­tur in­tra ABC tri­an­gu­lum.

Aio itaque ABD et ADC tri­an­gula, toti ABC, atque in­vi­cem fore si­mi­lia. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine d’Oronce Fine (XVI^e siècle)

« Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo, ab an­gulo recto in ba­sin per­pen­di­cu­la­ris aga­tur ; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gula, si­mi­lia sunt toti, et adin­vi­cem.

Sit tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ABC ; rec­tum ha­bens, eum qui sub BAC, an­gu­lum. Et ex­ci­te­tur ab A in BC per­pen­di­cu­la­ris AD. Dico quod si­mile est utrumque ip­so­rum ABD et ADC tri­an­gu­lo­rum, toti ABC, et in­su­per adin­vi­cem. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Bar­to­lo­meo Zam­berti (XVI^e siècle)

« In tri­an­gulo rec­tan­gulo, per­pen­di­cu­la­ris ducta ab an­gulo recto, ad la­tus op­po­si­tum, di­vi­dit tri­an­gu­lum in duo tri­an­gula, toti tri­an­gulo si­mi­lia.

Tri­an­guli ABC, an­gu­lus [ACB] rec­tus sit ; a quo ad la­tus op­po­si­tum AB, du­ca­tur per­pen­di­cu­la­ris CD. Dico facta esse duo tri­an­gula BCD, ACD si­mi­lia toti tri­an­gulo ABC, hoc est, illi æquian­gula… »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (XVII^e siècle)

« Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo, ab an­gulo recto ad ba­sin per­pen­di­cu­la­ris du­ca­tur ; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gula, et toti et in­ter se si­mi­lia sunt.

Sit tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ABC, rec­tum ha­bens an­gu­lum BAC ; et a puncto A ad BC per­pen­di­cu­la­ris du­ca­tur AD. Dico tri­an­gula ABD, ADC toti tri­an­gulo ABC et in­ter se si­mi­lia esse. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Fe­de­rico Com­man­dino (XVI^e siècle)

« Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo ab an­gulo recto ad ba­sin per­pen­di­cu­la­ris du­ca­tur ; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gula, et toti et in­ter se sunt si­mi­lia.

Sit tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ABC rec­tum ha­bens an­gu­lum BAC ; et a puncto A ad BC per­pen­di­cu­la­ris du­ca­tur AD. Dico tri­an­gula ABD, ADC toti tri­an­gulo ABC si­mi­lia esse. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Fe­de­rico Com­man­dino, re­vue par Joa­chim Fre­de­rik Ra­mus (XVIII^e siècle)

« Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo, ab an­gulo recto ad ba­sin per­pen­di­cu­la­ris du­ca­tur ; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gula, et toti et in­ter se sunt si­mi­lia.

Sit tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum ΑΒΓ, rec­tum ha­bens an­gu­lum ΒΑΓ ; et a puncto Α ad ΒΓ per­pen­di­cu­la­ris du­ca­tur ΑΔ. Dico tri­an­gula ΑΒΔ, ΑΔΓ toti tri­an­gulo ΑΒΓ et in­ter se si­mi­lia esse. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Fe­de­rico Com­man­dino, re­vue par Da­vid Gre­gory (XVIII^e siècle)

« Si in rec­tan­gulo tri­an­gulo ab an­gulo recto in ba­sin per­pen­di­cu­la­ris ducta fue­rit ; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gula, cum toti tri­an­gulo, tum ipsa in­ter se si­mi­lia sunt.

Des­cri­ba­tur tri­an­gu­lum rec­tan­gu­lum, de­mit­ta­tur etiam ab ejus an­gulo recto, ad suam sub­ten­sam li­nea per­pen­di­cu­la­ris. Dico quod par­tia­lia illa tri­an­gula, to­tali, atque etiam sibi ip­sis, si­mi­lia sint. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Jo­hann Scheu­bel (XVI^e siècle)

« Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo, ab an­gulo recto in ba­sin per­pen­di­cu­la­ris ducta sit ; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gula, tum toti tri­an­gulo, tum ipsa in­ter se si­mi­lia sunt.

In tri­an­gulo ABC, an­gu­lus BAC, sit rec­tus, a quo ad ba­sin per­pen­di­cu­la­ris aga­tur AD. Dico tri­an­gula ADB, ADC, si­mi­lia esse et toti tri­an­gulo ABC, et in­ter se. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du père Chris­toph Cla­vius (XVI^e siècle)

« (la­cune)

Si in Tri­an­gulo ABC rec­tan­gulo, ab an­gulo A recto in ba­sem BC per­pen­di­cu­la­ris AD ducta sit ; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem Tri­an­gula BDA et ADC tum toti BAC Tri­an­gulo, tum ipsa in­ter se si­mi­lia sunt, BDA et ADC. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine d’Ambrosius Rhode (XVII^e siècle)

« (la­cune)

In tri­an­gulo rec­tan­gulo BAC, si ab an­gulo recto A in ba­sem BC de­missa fue­rit per­pen­di­cu­la­ris AD ; dico tri­an­gula BAD, DAC toti tri­an­gulo BAC, et in­ter se esse si­mi­lia. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Ge­mi­niano Ron­delli (XVIII^e siècle)

« Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo, ab an­gulo recto in ba­sem per­pen­di­cu­la­ris aga­tur, quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gula, si­mi­lia sunt toti et adin­vi­cem.

Sit tri­an­gu­lum ABG ha­bens an­gu­lum rec­tum A, a quo per­pen­di­cu­la­ris in ba­sem de­mit­ta­tur AD. Dico tri­an­gula ABD et ADG si­mi­lia esse toti ABG, et adin­vi­cem. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Fran­çois de Foix, comte de Can­dale (XVI^e siècle)

« (la­cune)

Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo ABC ab an­gulo recto A ad ba­sin BC per­pen­di­cu­la­ris AD du­ca­tur ; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem sunt tri­an­gula ADB, CDA et toti ABC et in­ter se sunt si­mi­lia. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Georg Frie­drich Bär­mann (XVIII^e siècle)

« (la­cune)

Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo ABC ab an­gulo recto BAC in ba­sin BC per­pen­di­cu­la­ris AD ducta sit ; quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gula ADB, ADC tum toti tri­an­gulo ABC, tum ipsa in­ter se si­mi­lia sunt. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Carlo Edoardo Fi­lippa (XVII^e siècle)

« Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo ab an­gulo recto ducta sit per­pen­di­cu­la­ris ad la­tus op­po­si­tum ; re­sul­ta­bunt duo tri­an­gula si­mi­lia toti et in­ter se.

(la­cune) »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du frère Elia As­to­rini (XVII^e siècle)

« (la­cune)

In tri­an­gulo ABC sit an­gu­lus A rec­tus, et AD, ad ba­sin per­pen­di­cu­la­ris. Dico tri­an­gula ADB, ADC esse si­mi­lia toti. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du père Chris­toph Grien­ber­ger (XVII^e siècle)

« Si in tri­an­gulo rec­tan­gulo, ab an­gulo recto in ba­sin per­pen­di­cu­la­ris ducta sit : quæ ad per­pen­di­cu­la­rem tri­an­gula tum toti tri­an­gulo, tum ipsa in­ter se sunt si­mi­lia.

Ab an­gulo A recto tri­an­guli rec­tan­guli BAC, recta li­nea AD de­missa sit ad la­tus CB op­po­si­tum ipsi A recto an­gulo, ip­sum la­tus CB se­ca­bit non pro­duc­tum in puncto D ex in­ter­me­diis in­ter ex­trema ejus C et B. As­sero tri­an­gula duo re­sul­tan­tia ADC, ADB, com­mune la­tus ha­ben­tia ip­sam AD per­pen­di­cu­la­rem, esse et toti tri­an­gulo dato CAB, et in­ter se si­mi­lia. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du père Claude Ri­chard (XVII^e siècle)

« Si in tri­an­gulo cum an­gulo recto duc­tum fue­rit per­pen­di­cu­lum, ab an­gulo recto ad ba­sin, ea quæ ad per­pen­di­cu­lum tri­an­gula ita de­si­gnan­tur, cum toti tri­an­gulo, tum ipsa in­ter se si­mi­lia sunt.

(la­cune) »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Joa­chim Ca­me­ra­rius (XVI^e siècle)

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• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (1700) [Source : Google Livres]
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• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Oza­nam (1738) [Source : Google Livres]
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• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Oza­nam (1730) [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Oza­nam (1730) ; autre co­pie [Source : Google Livres]
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• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Oza­nam (1720) [Source : Bi­blio­thèque de l’Université Claude Ber­nard Lyon 1]
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• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Au­dierne (1778) [Source : Google Livres]
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• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Au­dierne (1753) [Source : Google Livres]
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• Louis Fi­guier, « Vies des sa­vants illustres. Tome I. Sa­vants de l’Antiquité » (XIX^e siècle) [Source : Google Livres]
• Sil­vestre-Fran­çois La­croix, « Eu­clide » dans « Bio­gra­phie uni­ver­selle, an­cienne et mo­derne » (XIX^e siècle) [Source : Google Livres]
• Paul-Henri Mi­chel, « De Py­tha­gore à Eu­clide : contri­bu­tion à l’histoire des ma­thé­ma­tiques pré­eu­cli­diennes » (éd. Les Belles Lettres, coll. d’Études an­ciennes, Pa­ris).