Euclide, « Les Éléments. Tome I »

Il s’agit des « Élé­ments » (« Ta Stoi­cheia » ¹) ou « En­sei­gne­ment élé­men­taire » (« Hê Stoi­cheiô­sis » ²) d’Euclide d’Alexandrie ³, cé­lèbre sa­vant grec, dont le nom est pour la géo­mé­trie ce qu’est le nom d’Einstein pour la phy­sique. La science grecque est es­sen­tiel­le­ment dé­duc­tive. C’est avec elle que l’esprit hu­main conçoit, pour la pre­mière fois, la pos­si­bi­lité de po­ser un pe­tit nombre de prin­cipes et d’en dé­duire un en­semble de vé­ri­tés qui en soient la consé­quence né­ces­saire. Les « Élé­ments » d’Euclide passent pour le mo­dèle du genre. Ils dé­butent par une liste d’« axiomes » (c’est-à-dire de prin­cipes que l’on de­mande au lec­teur d’admettre sans dé­mons­tra­tion), énon­cés de telle sorte qu’ils peuvent être ac­cep­tés par cha­cun ; tout en étant aussi peu nom­breux que pos­sible (en­vi­ron une di­zaine), ils suf­fisent à as­su­rer la construc­tion de tout l’édifice ma­thé­ma­tique. Dans une pre­mière lec­ture, l’on se­rait tenté de croire qu’Euclide est l’inventeur de ce genre de construc­tion. Il ne cite au­cun nom de pré­dé­ces­seur ; des pro­po­si­tions que nous dé­si­gnons sous les noms de « théo­rème de Py­tha­gore » ou « de Tha­lès » prennent place dans ses « Élé­ments » sans que soient rap­pe­lés ceux qui les ont énon­cées en pre­mier. Ce­pen­dant, Eu­clide a beau ne pas ci­ter ses sources, son œuvre dé­cèle une di­ver­sité d’inspirations qui ne trompe pas ; elle n’est pas et ne sau­rait être l’œuvre d’une seule in­tel­li­gence. Des géo­mètres plus an­ciens — Hip­po­crate de Chios ⁴, Her­mo­time de Co­lo­phon ⁵, Eu­doxe de Cnide ⁶, Théé­tète d’Athènes ⁷, Theu­dios de Ma­gné­sie ⁸ — avaient écrit des « Élé­ments ». Le mé­rite d’Euclide est d’avoir réuni leurs dé­mons­tra­tions et sur­tout d’avoir com­posé un tout qui, par un en­chaî­ne­ment plus exact, fit ou­blier les ou­vrages écrits avant le sien, qui de­vint le plus im­por­tant sur cette ma­tière. Voici ce qu’en dit Pro­clus dans ses « Com­men­taires aux “Élé­ments” » : « En ras­sem­blant des “Élé­ments”, Eu­clide en a co­or­donné beau­coup d’Eudoxe, per­fec­tionné beau­coup de Théé­tète et évo­qué dans d’irréfutables dé­mons­tra­tions ceux que ses pré­dé­ces­seurs avaient mon­trés d’une ma­nière re­lâ­chée » ⁹.

Nous ne sa­vons pas quelle fut la pa­trie d’Euclide ; nous ne connais­sons guère mieux les évé­ne­ments de sa vie. Pro­clus nous ap­prend qu’il ou­vrit une école de ma­thé­ma­tiques à Alexan­drie, sous le règne de Pto­lé­mée I^er (305-282 av. J.-C.), qui ai­mait à as­sis­ter en per­sonne à ses le­çons. Mais ce roi s’aperçut bien­tôt que l’étude ap­pro­fon­die d’une science s’alliait mal­ai­sé­ment avec les soins et les sou­cis du gou­ver­ne­ment. Aussi, re­buté par les dif­fi­cul­tés, il au­rait un jour in­ter­pellé le maître en lui de­man­dant s’il n’y avait pas une voie plus fa­cile que celle des « Élé­ments ». C’est à cette oc­ca­sion qu’Euclide lui au­rait ré­pondu qu’« il n’existait pas une voie royale en géo­mé­trie » ¹⁰. Cette libre ré­ponse montre, d’une part, qu’Euclide n’était pas cour­ti­san ; et de l’autre, que Pto­lé­mée ne trou­vait pas désa­gréable que les sa­vants de son pays s’entretinssent fa­mi­liè­re­ment avec lui.

cé­lèbre sa­vant grec, dont le nom est pour la géo­mé­trie ce qu’est le nom d’Einstein pour la phy­sique

Voilà ce que nous sa­vons sur Eu­clide. Il ne me reste qu’à rap­por­ter le ju­ge­ment qu’ont porté sur lui les hommes les plus com­pé­tents. Car­dan, en par­lant de l’« En­sei­gne­ment élé­men­taire », s’exprime ainsi : « La théo­rie d’Euclide est d’une fer­meté in­ébran­lable, d’une per­fec­tion ab­so­lue. Elle émane de la lu­mière de la vé­rité. Et seuls ceux qui la pos­sèdent, sont ca­pables dans toutes les ques­tions ar­dues de dis­cer­ner le vrai du faux » ¹¹. New­ton, après avoir rem­pli le monde de sa gloire, se plai­gnait « d’avoir eu le mal­heur de se mé­prendre étran­ge­ment, dès le com­men­ce­ment de ses études ma­thé­ma­tiques, en s’appliquant à la lec­ture des ou­vrages de Des­cartes et des autres al­gé­bristes, avant d’avoir consi­déré les “Élé­ments” d’Euclide avec cette at­ten­tion que mé­rite un aussi ex­cellent écri­vain » ¹². En­fin, au dire d’une bio­graphe ¹³, ce fut le livre des « Élé­ments » que le père de Pas­cal of­frit à son fils, qui n’avait que douze ans : « Ja­mais en­fant ne lut un ro­man avec plus d’avidité et de fa­ci­lité qu’il lut ce livre, lorsqu’on le lui eut mis entre les mains ».

Il n’existe pas moins de quinze tra­duc­tions fran­çaises des « Élé­ments », mais s’il fal­lait n’en choi­sir qu’une seule, je choi­si­rais celle de M. Ber­nard Vi­trac.

« Τοῦ δοθέντος κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν.

Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ· δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν. Διήχθω τις εἰς αὐτόν ὡς ἔτυχεν εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΓ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ· λέγω ὅτι τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. »
— Pro­po­si­tion dans la langue ori­gi­nale

« Trou­ver le centre d’un cercle donné.

Soit ABC le cercle donné. Il faut alors trou­ver le centre du cercle ABC. Qu’une cer­taine droite AB soit conduite à tra­vers lui, au ha­sard, et qu’elle soit cou­pée en deux par­ties égales au point D, et qu’à par­tir de D soit me­née DC à angles droits avec AB ; et qu’elle soit conduite jusqu’en E ; et que CE soit cou­pée en deux par­ties égales au point F. Je dis que F est le centre du cercle ABC. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de M. Vi­trac

« Trou­ver le centre d’un cercle.

Soit ΑΒΓ un cercle dont il nous faut trou­ver le centre. Tra­çons dans ce cercle une corde quel­conque ΑΒ, trou­vons son mi­lieu Δ et de ce point éle­vons la droite ΔΓ ⟂ ΑΒ ; pro­lon­geons la droite ΔΓ jusqu’au point Ε et di­vi­sons le seg­ment ΓΕ en deux par­ties égales par le point Ζ ; je dis que le point Ζ est le centre du cercle ΑΒΓ. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de M. Georges Kayas (éd. du Centre na­tio­nal de la re­cherche scien­ti­fique (CNRS), Pa­ris)

« Trou­ver le centre d’un cercle.

Si vous vou­lez trou­ver le centre du cercle AEBD, ti­rez la ligne AB et la di­vi­sez par le mi­lieu, au point C, par le­quel vous ti­re­rez la per­pen­di­cu­laire ED, que vous di­vi­se­rez aussi éga­le­ment au point F. Ce point F sera le centre du cercle… »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (XVII^e siècle)

« Trou­ver le centre d’un cercle donné.

Pour trou­ver le centre du cercle X, ti­rez la corde CD, la­quelle étant di­vi­sée en deux éga­le­ment au point E, il faut y éle­ver la per­pen­di­cu­laire EF qui, ve­nant abou­tir à la cir­con­fé­rence, sera le dia­mètre du cercle. Cela étant, elle doit pas­ser par le centre ; si on di­vise donc cette ligne en deux éga­le­ment au point H, on aura ce qu’on cherche. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Oza­nam (XVIII^e siècle)

« Trou­ver le centre d’un cercle donné.

Il faut trou­ver le centre du cercle X. Ti­rez dans le cercle X une corde AB, à vo­lonté. Di­vi­sez cette corde en deux par­ties égales AE et EB. Du point E, éle­vez à cette même corde la per­pen­di­cu­laire CD, qui se ter­mine de part et d’autre à la cir­con­fé­rence. En­fin, di­vi­sez aussi cette per­pen­di­cu­laire en deux par­ties égales CF et FD. Le point F sera le centre de­mandé. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Au­dierne (XVIII^e siècle)

« Trou­ver le centre d’un cercle donné.

Soit ΑΒΓ le cercle donné ; il faut trou­ver le centre du cercle ΑΒΓ. Condui­sons dans le cercle une droite quel­conque ΑΒ, par­ta­geons-la en deux par­ties égales au point Δ ; du point Δ, condui­sons ΓΔ per­pen­di­cu­laire à ΑΒ, pro­lon­geons ΓΔ en Ε, et par­ta­geons ΓΕ en deux par­ties égales en Ζ ; je dis que le point Ζ est le centre du cercle ΑΒΓ. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Fran­çois Pey­rard (XIX^e siècle)

« Trou­ver le centre d’un cercle donné.

Je sup­pose que l’on donne le cercle ABC et je pro­pose d’en trou­ver le centre. Pour le trou­ver, me­nez dans ce cercle la ligne droite AC, qui coupe la cir­con­fé­rence où il vous plaira, comme aux points A et C. Di­vi­sez la ligne AC en deux éga­le­ment au point E. Et par ce point, me­nez la ligne BED per­pen­di­cu­laire à AC. En­fin, cou­pez la ligne BD en deux éga­le­ment au point F. Cela étant, je dis que le point F est le centre du cercle ABC. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Jacques Ro­hault (XVII^e siècle)

« Trou­ver le centre F d’un cercle donné ABC.

Soit AC, une droite mi-par­tie en E, EB per­pen­di­cu­laire à AC, pro­duite jusques à la cir­con­fé­rence en B et D, et icelle cou­pée éga­le­ment en F. F sera le centre du cercle. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Georges Four­nier (XVII^e siècle)

« Trou­ver le centre d’un cercle donné.

Soit dans le cercle CHIB ti­rée une ligne contin­gente HB, la­quelle soit di­vi­sée en deux éga­le­ment en O, du­quel point soit ti­rée la per­pen­di­cu­laire de côté et d’autre jusques à la cir­con­fé­rence comme CI, et icelle soit di­vi­sée en deux éga­le­ment comme en F. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Jean Er­rard (XVII^e siècle)

« Trou­ver le centre d’un cercle donné.

Soit ABC le cercle donné, du­quel il faille trou­ver le centre. Dans le­dit cercle, je tire à l’aventure la ligne AC ; la­quelle je di­vise éga­le­ment au point D ; du­quel je dresse la per­pen­di­cu­laire DB ; la­quelle, al­lon­gée des deux cô­tés, ren­contre la cir­con­fé­rence ès points B et E. Et cette ligne BE, je la di­vise en­core éga­le­ment au point F. Je dis que le point F est le centre du cercle. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Jacques Pe­le­tier (XVII^e siècle)

« Trou­ver le centre du cercle donné.

Soit le cercle donné ABC, du­quel il faut trou­ver le centre. Soit ti­rée la ligne BC à l’aventure, la­quelle soit cou­pée en deux éga­le­ment et à droits angles par la ligne DA. Je dis qu’en DA est le centre du cercle. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Di­dier Dou­not (XVII^e siècle)

« Trou­ver le centre d’un cercle donné.

Soit le cercle donné ABC, du­quel il faut trou­ver le centre. Soit ti­rée en ice­lui la ligne droite AC, qui coupe la cir­con­fé­rence comme que ce soit [c’est-à-dire de quelque fa­çon que ce soit] ès points A et C : puis, soit icelle AC cou­pée en deux éga­le­ment et à droits angles par la ligne droite BD, se ter­mi­nant à la pé­ri­phère [c’est-à-dire pé­ri­phé­rie] ès points B et D : et fi­na­le­ment icelle BD soit aussi cou­pée en deux éga­le­ment en F. Je dis que F est le centre du cercle pro­posé. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Di­dier Hen­rion (XVII^e siècle)

« Un cercle étant donné, trou­ver le centre.

Soit le cercle donné ABCD, du­quel il faut trou­ver le centre. Soit me­née une ligne quel­conque en ice­lui AC, la­quelle soit di­vi­sée en deux éga­le­ment au point E ; et par E, soit me­née BD à angles droits, se ter­mi­nant de part et d’autre en la cir­con­fé­rence aux points B et D ; et soit di­vi­sée en deux éga­le­ment au point F. Je dis que F est le centre du cercle pro­posé. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Pierre Le Mar­delé (XVII^e siècle)

« Trou­ver le centre F d’un cercle donné ACBE.

DONNÉ.
Le cercle ACBE.
CHERCHÉ.
Le centre F de ce ◉.
RÉSOLUTION.
Ti­rez la corde AB ;
Cou­pez-la en deux éga­le­ment au point D ;
Du point D, éle­vez sur AB la ⟂ DC, et pro­lon­gez-la en E ;
Cou­pez la droite CE en deux éga­le­ment au point F ; ce point F sera le centre cher­ché du ◉ donné ACBE. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Sa­muel Kö­nig (XVIII^e siècle)

« Trou­ver le centre d’un cercle donné.

HYPOTHÈSE.
ABC est ◉ donné.
CONSTRUCTION.
AC est — ar­bi­traire ;
AE ²/₂ EC ;
EB ⟂ AC ;
BED est — ;
DF ²/₂ FB ;
F est centre du ◉. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Pierre Hé­ri­gone (XVI^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum in­ve­nire.

Sit da­tus cir­cu­lus ΑΒΓ ; opor­tet igi­tur ΑΒΓ cir­culi cen­trum in­ve­nire. Du­ca­tur ali­qua in ipso ut­cunque recta ΑΒ, et se­ce­tur bi­fa­riam in Δ puncto, et a Δ [ipsi] ΑΒ ad rec­tos du­ca­tur ΓΔ, et pro­du­ca­tur in Ε, et se­ce­tur ΓΕ bi­fa­riam in Ζ ; dico Ζ cen­trum esse ΑΒΓ cir­culi. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Fran­çois Pey­rard (XIX^e siècle)

« Dati cir­culi ABC cen­trum F re­pe­rire.

Duc­tam AC di­vide bi­fa­riam in E. Ad punc­tum E, erige per­pen­di­cu­la­rem at­tin­gen­tem am­bi­tum in B et D, hanc BD bi­fa­riam seca in F. Punc­tum F erit cen­trum cir­culi. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du père Georges Four­nier (XVII^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum in­ve­nire.

Sit da­tus cir­cu­lus ΑΒΓ ; opor­tet igi­tur ΑΒΓ cir­culi cen­trum in­ve­nire. Du­ca­tur in ipso ut­cunque recta ali­qua ΑΒ, et se­ce­tur bi­fa­riam in puncto Δ, et a Δ rectæ ΑΒ ad rec­tos du­ca­tur ΓΔ, et pro­du­ca­tur in Ε, et se­ce­tur ΓΕ bi­fa­riam in Ζ ; dico Ζ cen­trum esse cir­culi ΑΒΓ. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Jo­hann Wil­helm Ca­me­rer et Karl Frie­drich Hau­ber (XIX^e siècle)

« Dati cir­culi ABC cen­trum F re­pe­rire.

Duc in cir­culo rec­tam AC ut­cunque. Quam bi­seca in E. Per E, duc per­pen­di­cu­la­rem DB. Hanc bi­seca in F. Erit F cen­trum. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine d’Isaac Bar­row (XVII^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum in­ve­nire.

Sit da­tus cir­cu­lus ΑΒΓ. Opor­tet igi­tur cir­culi ΑΒΓ cen­trum in­ve­nire. Pro­du­ca­tur in eum ut­cunque recta ΑΒ, et in puncto Δ in duas partes æquales se­ce­tur, et a Δ ad rec­tam ΑΒ per­pen­di­cu­la­ris du­ca­tur ΔΓ, et pro­du­ca­tur ad Ε, et ΓΕ in duas partes æquales se­ce­tur in Ζ. Dico Ζ cen­trum esse cir­culi ΑΒΓ. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Jo­han Lud­vig Hei­berg et Hein­rich Menge (XIX^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum re­pe­rire.

In cir­culo ABC, du­ca­tur ut­cunque recta AC, qua bi­secta in D ; per idem punc­tum D, aga­tur per­pen­di­cu­la­ris BG, at­tin­gens utrimque am­bi­tum. Di­vi­da­tur deinde recta BG, bi­fa­riam in F, eritque punc­tum F cen­trum cir­culi. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du père Charles Mal­a­pert, dit Ca­ro­lus Mal­a­per­tius (XVII^e siècle)

« Dati cir­culi BCD cen­trum A re­pe­rire.

In cir­culo ducta quæ­li­bet BD di­vi­da­tur bi­fa­riam in F. Ex F eri­ga­tur utrimque per­pen­di­cu­la­ris CE usque ad cir­cum­fe­ren­tiam. Ista CE bi­se­ce­tur in A. Dico punc­tum A esse cen­trum cir­culi. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Hen­rik Coets (XVII^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum in­ve­nire.

Esto da­tus cir­cu­lus ABC, cu­jus cen­trum in­ve­nire opor­teat. Du­ca­tur quæ­dam recta li­nea AB ut­cunque, bi­se­ce­turque in D ; atque per D ipsi AB ad an­gu­los rec­tos eri­ga­tur DC, quæ pro­du­ca­tur in E, et bi­se­ce­tur CE in F. Dico F cen­trum esse cir­culi ABC. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Jo­hann Lantz (XVII^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum in­ve­nire.

Da­tus sit cir­cu­lus ABC. Opor­tet cen­trum ejus in­ve­nire. Su­man­tur in ejus cir­cum­fe­ren­tia duo quæ­li­bet puncta A et B, quæ jun­gan­tur per rec­tam AB. Tum se­ce­tur AB bi­fa­riam in puncto E, ex quo per­pen­di­cu­la­ris eri­ga­tur EF, eaque ex­ten­da­tur usque do­nec cir­culi cir­cum­fe­ren­tiam utrimque se­cet in C et in D. De­nique se­ce­tur ipsa CD bi­fa­riam quoque in puncto F. Dico in CD esse cen­trum cir­culi, et esse pro­prie punc­tum F. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Ni­colò di Mar­tino (XVIII^e siècle)

« Cir­culi pro­po­siti cen­trum in­ve­nire.

Sit cir­cu­lus pro­po­si­tus ABC, cu­jus vo­lu­mus cen­trum in­ve­nire. Duco in ipso cir­culo li­neam AC qua­li­ter­cumque contin­gat, quam di­vido per æqua­lia in puncto D, a quo duco per­pen­di­cu­la­rem ad li­neam AC, quam ap­plico cir­cum­fe­ren­tiæ ex utraque parte. Sitque EDB, quam rur­sus di­vido per æqua­lia in puncto F, quem dico esse cen­trum cir­culi. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Gio­vanni Cam­pano, dit Cam­pa­nus de No­vare (XIII^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum in­ve­nire.

Esto da­tus ABC cir­cu­lus, cu­jus opor­teat in­ve­nire cen­trum. Du­ca­tur in ipso ABC cir­culo recta quæ­dam li­nea BC, quæ bi­fa­riam se­ce­tur in D. Et a puncto D datæ rectæ li­neæ BC ad an­gu­los rec­tos ex­ci­te­tur DA, pro­du­ca­turque in rec­tum usque ad E. Se­ce­tur tan­dem AE bi­fa­riam in puncto F. Dico quod F punc­tum cen­trum est ip­sius dati ABC cir­culi. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine d’Oronce Fine (XVI^e siècle)

« Cir­culi pro­po­siti cen­trum in­ve­nire.

Sit cir­cu­lus pro­po­si­tus ABC, cu­jus vo­lu­mus cen­trum in­ve­nire. Duco in ipso cir­culo li­neam AC qua­li­ter­cumque contin­gat, quam di­vido par æqua­lia in puncto D, a quo duco per­pen­di­cu­la­rem ad li­neam AC, quam ap­plico cir­cum­fe­ren­tiæ ex utraque parte ; sitque EDB, quam rur­sus di­vido per æqua­lia in puncto F, quem dico esse cen­trum cir­culi. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Bar­to­lo­meo Zam­berti (XVI^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum re­pe­rire.

Sit in­ve­nien­dum cen­trum cir­culi ACB. Du­ca­tur ut­cumque li­nea AB, quæ di­vi­da­tur bi­fa­riam in D, ex­ci­te­turque in D per­pen­di­cu­la­ris EC, quæ di­vi­da­tur bi­fa­riam in F. Dico punc­tum F esse cen­trum cir­culi. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (XVII^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum in­ve­nire.

Sit da­tus cir­cu­lus ABC ; opor­tet cir­culi ABC cen­trum in­ve­nire. Du­ca­tur in ipso quæ­dam recta li­nea AB ut­cunque, et in puncto D bi­fa­riam se­ce­tur. A puncto au­tem D ipsi AB ad rec­tos an­gu­los ducta DC in E pro­du­ca­tur ; et se­ce­tur CE bi­fa­riam in F. Dico punc­tum F cir­culi ABC cen­trum esse. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Fe­de­rico Com­man­dino (XVI^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum in­ve­nire.

Du­ca­tur in cir­culo quæ­dam recta li­nea AB ut­cunque, et in puncto D bi­fa­riam se­ce­tur. A puncto au­tem D ipsi AB ad rec­tos an­gu­los du­ca­tur DC. Recta CD pro­du­ca­tur in E, et bi­fa­riam se­ce­tur in F. Dico punc­tum F esse cen­trum cir­culi ABC. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Fe­de­rico Com­man­dino, re­vue par Joa­chim Fre­de­rik Ra­mus (XVIII^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum in­ve­nire.

Sit da­tus cir­cu­lus ΑΒΓ ; opor­tet cir­culi ΑΒΓ cen­trum in­ve­nire. Du­ca­tur in ipso quæ­dam recta li­nea ΑΒ ut­cunque, et in puncto Δ bi­fa­riam se­ce­tur. A puncto au­tem Δ ipsi ΑΒ ad rec­tos an­gu­los ducta ΔΓ pro­du­ca­tur in Ε ; et se­ce­tur ΓΕ bi­fa­riam in Ζ. Dico punc­tum Ζ cen­trum esse cir­culi ΑΒΓ. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Fe­de­rico Com­man­dino, re­vue par Da­vid Gre­gory (XVIII^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum in­ve­nire.

Sit cir­cu­lus da­tus, atque pro­po­si­tum — illius cen­trum in­ve­nire. Du­ca­tur in cir­culo recta quæ­dam li­nea ut­cunque, ita ta­men ut utraque ejus ex­tre­mi­tas in cir­culi sit cir­cum­fe­ren­tia, hac deinde recta bi­fa­riam di­visa. A puncto di­vi­sio­nis hu­jus ad an­gu­los rec­tos li­nea, quæ si­mi­li­ter utramque ex­tre­mi­ta­tem in cir­cum­fe­ren­tia ha­beat, ex­ci­te­tur. Quod si tan­dem hæc ad rec­tos ducta bi­fa­riam di­visa fue­rit : punc­tum hu­jus di­vi­sio­nis cen­trum cir­culi erit. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Jo­hann Scheu­bel (XVI^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum re­pe­rire.

Sit cir­cu­lus da­tus ABCD, cu­jus cen­trum opor­tet in­ve­nire. Du­ca­tur in eo li­nea ut­cunque AC, quæ bi­fa­riam di­vi­da­tur in E, et per E ad AC per­pen­di­cu­la­ris aga­tur BD, utrinque in per­iphe­ria ter­mi­nata in punc­tis B et D. Hac igi­tur bi­fa­riam secta in F ; dico F esse cen­trum cir­culi pro­po­siti. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du père Chris­toph Cla­vius (XVI^e siècle)

« Dati cir­culi ABC cen­trum F in­ve­nire.

Ad duc­tam in cir­culo rec­tam AC bi­fa­riamque sec­tam in E, eri­ga­tur per­pen­di­cu­la­ris, quæ utrinque in per­iphe­riam ter­mi­nata, etiam se­ce­tur bi­fa­riam in F — cen­tro cir­culi. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine d’Ambrosius Rhode (XVII^e siècle)

« Dati cir­culi ADBE cen­trum in­ve­nire.

In dato cir­culo ut­cumque du­ca­tur recta AB, quæ bi­fa­riam di­vi­da­tur in C. A puncto C eri­ga­tur per­pen­di­cu­la­ris CD [in] cir­culi per­iphe­ria ter­mi­nata in D et E. Dico in recta DE esse dati cir­culi cen­trum. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Ge­mi­niano Ron­delli (XVIII^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum in­ve­nire.

In dato cir­culo AGBE, pro­du­ca­tur contin­gens ali­qua recta AB, quæ se­ce­tur bi­fa­riam in D, eique per si­gnum D per­pen­di­cu­la­ris ex­ci­te­tur GE, ad utrasque cir­cum­fe­ren­tiæ partes. Secta bi­fa­riam GE in Z, dico esse Z cen­trum cir­culi AGBE. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Fran­çois de Foix, comte de Can­dale (XVI^e siècle)

« Dati cir­culi ACB cen­trum in­ve­nire.

Du­ca­tur in ipso recta AB ut­cunque, quæ bi­se­ce­tur in D. Ex puncto D ipsi AB ad rec­tos ducta DC pro­du­ca­tur in E, et bi­se­ce­tur CE in F. Dico punc­tum F cen­trum esse cir­culi ABC. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Georg Frie­drich Bär­mann (XVIII^e siècle)

« Dati cir­culi ABC cen­trum re­pe­rire.

Du­ca­tur in eo ut­cunque li­nea BC, di­vi­saque bi­fa­riam in E, aga­tur per­pen­di­cu­la­ris DEA, et di­vi­da­tur DA bi­fa­riam in F. Dico F esse cen­trum cir­culi. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Carlo Edoardo Fi­lippa (XVII^e siècle)

« Dati cir­culi ABCD cen­trum in­ve­nire.

Sub­ten­da­tur AC ut­cunque, quam bi­fa­riam seca in puncto E, per quod du­ca­tur per­pen­di­cu­la­ris BD, quam bi­fa­riam seca in F. Dico punc­tum F esse cen­trum quæ­si­tum. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du frère Elia As­to­rini (XVII^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum re­pe­rire.

Recta BD, se­cans aliam AC bi­fa­riam, et ad an­gu­los rec­tos in E, se­ce­tur bi­fa­riam in F. Dico F esse cen­trum. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du père Chris­toph Grien­ber­ger (XVII^e siècle)

« Dati cir­culi cen­trum re­pe­rire.

Cir­culi AEBD cen­trum sit re­pe­rien­dum. Du­ca­tur in eo chorda ali­qua AB, quæ bi­fa­riam se­ce­tur in C ; et ex­ci­te­tur ex C, recta li­nea ad an­gu­los rec­tos ipsi AB, quæ sit ECD pro­du­cenda utrimque do­nec se­cet cir­cum­fe­ren­tiam cir­culi in punc­tis D, E : hæc recta DE bi­fa­riam se­ce­tur in F. Dico hoc punc­tum F esse cen­trum cir­culi dati. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine du père Claude Ri­chard (XVII^e siècle)

« Re­pe­riun­dum est cen­trum in dato cir­culo.

Sit da­tus cir­cu­lus ΑΒΓ, cu­jus cen­trum sit in­ves­ti­gan­dum. Du­ca­tur in eo li­nea for­tuito utrinque am­bi­tus li­neam at­tin­gens, quæ sit ΑΒ. Hæc se­ce­tur in duas partes æquales in puncto Δ, a quo edu­ca­tur ad an­gu­los rec­tos ipsi ΑΒ, ΔΓ recta, quæ di­recta ex­ten­sione pro­du­ca­tur in Ε deor­sum, di­vi­da­turque bi­fa­riam in Ζ puncto. Dico Ζ punc­tum esse cen­trum cir­culi ΑΒΓ pro­po­siti. »
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion la­tine de Joa­chim Ca­me­ra­rius (XVI^e siècle)

Téléchargez ces œuvres imprimées au format PDF

• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (1700) [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (1700) ; autre co­pie [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (1690) [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (1683) [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (1683 bis) [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (1683 bis) ; autre co­pie [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (1683 bis) ; autre co­pie [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (1682) [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (1677) [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (1672) [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Oza­nam (1738) [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Oza­nam (1738) ; autre co­pie [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Oza­nam (1730) [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Oza­nam (1730) ; autre co­pie [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Oza­nam (1730) ; autre co­pie [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Oza­nam (1720) [Source : Bi­blio­thèque de l’Université Claude Ber­nard Lyon 1]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Oza­nam (1720) ; autre co­pie [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Oza­nam (1720) ; autre co­pie [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Au­dierne (1778) [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Au­dierne (1778) ; autre co­pie [Source : Ame­ri­cana]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Au­dierne (1753) [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Au­dierne (1753) ; autre co­pie [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Au­dierne (1753) ; autre co­pie [Source : Google Livres]
• Tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, re­vue par Jacques Au­dierne (1753) ; autre co­pie [Source : Google Livres]…

Voyez la liste com­plète des té­lé­char­ge­ments

Consultez cette bibliographie succincte en langue française

• Louis Fi­guier, « Vies des sa­vants illustres. Tome I. Sa­vants de l’Antiquité » (XIX^e siècle) [Source : Google Livres]
• Sil­vestre-Fran­çois La­croix, « Eu­clide » dans « Bio­gra­phie uni­ver­selle, an­cienne et mo­derne » (XIX^e siècle) [Source : Google Livres]
• Paul-Henri Mi­chel, « De Py­tha­gore à Eu­clide : contri­bu­tion à l’histoire des ma­thé­ma­tiques pré­eu­cli­diennes » (éd. Les Belles Lettres, coll. d’Études an­ciennes, Pa­ris).