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Euclide, «Les Éléments. Tome I»

éd. Presses universitaires de France, coll. Bibliothèque d’histoire des sciences, Paris

éd. Presses uni­ver­si­taires de France, coll. Biblio­thèque d’histoire des sciences, Paris

Il s’agit des «Élé­ments» («Ta Stoi­cheia»*) ou «Ensei­gne­ment élé­men­taire» («Hê Stoi­cheiô­sis»**) d’Euclide d’Alexandrie***, célèbre savant grec, dont le nom est pour la géo­mé­trie ce qu’est le nom d’Einstein pour la phy­sique. La science grecque est essen­tiel­le­ment déduc­tive. C’est avec elle que l’esprit humain conçoit, pour la pre­mière fois, la pos­si­bi­li­té de poser un petit nombre de prin­cipes et d’en déduire un ensemble de véri­tés qui en soient la consé­quence néces­saire. Les «Élé­ments» d’Euclide passent pour le modèle du genre. Ils débutent par une liste d’«axiomes» (c’est-à-dire de prin­cipes que l’on demande au lec­teur d’admettre sans démons­tra­tion), énon­cés de telle sorte qu’ils peuvent être accep­tés par cha­cun; tout en étant aus­si peu nom­breux que pos­sible (envi­ron une dizaine), ils suf­fisent à assu­rer la construc­tion de tout l’édifice mathé­ma­tique. Dans une pre­mière lec­ture, l’on serait ten­té de croire qu’Euclide est l’inventeur de ce genre de construc­tion. Il ne cite aucun nom de pré­dé­ces­seur; des pro­po­si­tions que nous dési­gnons sous les noms de «théo­rème de Pytha­gore» ou «de Tha­lès» prennent place dans ses «Élé­ments» sans que soient rap­pe­lés ceux qui les ont énon­cées en pre­mier. Cepen­dant, Euclide a beau ne pas citer ses sources, son œuvre décèle une diver­si­té d’inspirations qui ne trompe pas; elle n’est pas et ne sau­rait être l’œuvre d’une seule intel­li­gence. Des géo­mètres plus anciens — Hip­po­crate de Chios****, Her­mo­time de Colo­phon*****, Eudoxe de Cnide******, Théé­tète d’Athènes*******, Theu­dios de Magné­sie******** — avaient écrit des «Élé­ments». Le mérite d’Euclide est d’avoir réuni leurs démons­tra­tions et sur­tout d’avoir com­po­sé un tout qui, par un enchaî­ne­ment plus exact, fit oublier les ouvrages écrits avant le sien, qui devint le plus impor­tant sur cette matière. Voi­ci ce qu’en dit Pro­clus dans ses «Com­men­taires aux “Élé­ments”» : «En ras­sem­blant des “Élé­ments”, Euclide en a coor­don­né beau­coup d’Eudoxe, per­fec­tion­né beau­coup de Théé­tète et évo­qué dans d’irréfutables démons­tra­tions ceux que ses pré­dé­ces­seurs avaient mon­trés d’une manière relâ­chée»*********.

Nous ne savons pas quelle fut la patrie d’Euclide; nous ne connais­sons guère mieux les évé­ne­ments de sa vie. Pro­clus nous apprend qu’il ouvrit une école de mathé­ma­tiques à Alexan­drie, sous le règne de Pto­lé­mée Ier (305-282 av. J.-C.), qui aimait à assis­ter en per­sonne à ses leçons. Mais ce roi s’aperçut bien­tôt que l’étude appro­fon­die d’une science s’alliait mal­ai­sé­ment avec les soins et les sou­cis du gou­ver­ne­ment. Aus­si, rebu­té par les dif­fi­cul­tés, il aurait un jour inter­pel­lé le maître en lui deman­dant s’il n’y avait pas une voie plus facile que celle des «Élé­ments». C’est à cette occa­sion qu’Euclide lui aurait répon­du qu’«il n’existait pas une voie royale en géo­mé­trie»**********. Cette libre réponse montre, d’une part, qu’Euclide n’était pas cour­ti­san; et de l’autre, que Pto­lé­mée ne trou­vait pas désa­gréable que les savants de son pays s’entretinssent fami­liè­re­ment avec lui.

célèbre savant grec, dont le nom est pour la géo­mé­trie ce qu’est le nom d’Einstein pour la phy­sique

Voi­là ce que nous savons sur Euclide. Il ne me reste qu’à rap­por­ter le juge­ment qu’ont por­té sur lui les hommes les plus com­pé­tents. Car­dan, en par­lant de l’«Ensei­gne­ment élé­men­taire», s’exprime ain­si : «La théo­rie d’Euclide est d’une fer­me­té inébran­lable, d’une per­fec­tion abso­lue. Elle émane de la lumière de la véri­té. Et seuls ceux qui la pos­sèdent, sont capables dans toutes les ques­tions ardues de dis­cer­ner le vrai du faux»***********. New­ton, après avoir rem­pli le monde de sa gloire, se plai­gnait «d’avoir eu le mal­heur de se méprendre étran­ge­ment, dès le com­men­ce­ment de ses études mathé­ma­tiques, en s’appliquant à la lec­ture des ouvrages de Des­cartes et des autres algé­bristes, avant d’avoir consi­dé­ré les “Élé­ments” d’Euclide avec cette atten­tion que mérite un aus­si excellent écri­vain»************. Enfin, au dire d’une bio­graphe*************, ce fut le livre des «Élé­ments» que le père de Pas­cal offrit à son fils, qui n’avait que douze ans : «Jamais enfant ne lut un roman avec plus d’avidité et de faci­li­té qu’il lut ce livre, lorsqu’on le lui eut mis entre les mains».

Il n’existe pas moins de quinze tra­duc­tions fran­çaises des «Élé­ments», mais s’il fal­lait n’en choi­sir qu’une seule, je choi­si­rais celle de M. Ber­nard Vitrac.

«Τοῦ δοθέντος κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν.

Diagramme

Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ· δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν. Διήχθω τις εἰς αὐτόν ὡς ἔτυχεν εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΓ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ· λέγω ὅτι τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.»
— Pro­po­si­tion dans la langue ori­gi­nale

«Trou­ver le centre d’un cercle don­né.

Diagramme

Soit ABC le cercle don­né. Il faut alors trou­ver le centre du cercle ABC. Qu’une cer­taine droite AB soit conduite à tra­vers lui, au hasard, et qu’elle soit cou­pée en deux par­ties égales au point D, et qu’à par­tir de D soit menée DC à angles droits avec AB; et qu’elle soit conduite jusqu’en E; et que CE soit cou­pée en deux par­ties égales au point F. Je dis que F est le centre du cercle ABC.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de M. Vitrac

«Trou­ver le centre d’un cercle.

Diagramme

Soit ΑΒΓ un cercle dont il nous faut trou­ver le centre. Tra­çons dans ce cercle une corde quel­conque ΑΒ, trou­vons son milieu Δ et de ce point éle­vons la droite ΔΓ ΑΒ; pro­lon­geons la droite ΔΓ jusqu’au point Ε et divi­sons le seg­ment ΓΕ en deux par­ties égales par le point Ζ; je dis que le point Ζ est le centre du cercle ΑΒΓ.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de M. Georges Kayas (éd. du Centre natio­nal de la recherche scien­ti­fique (CNRS), Paris)

«Trou­ver le centre d’un cercle.

Diagramme

Si vous vou­lez trou­ver le centre du cercle AEBD, tirez la ligne AB et la divi­sez par le milieu, au point C, par lequel vous tire­rez la per­pen­di­cu­laire ED, que vous divi­se­rez aus­si éga­le­ment au point F. Ce point F sera le centre du cercle…»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (XVIIe siècle)

«Trou­ver le centre d’un cercle don­né.

Diagramme

Pour trou­ver le centre du cercle X, tirez la corde CD, laquelle étant divi­sée en deux éga­le­ment au point E, il faut y éle­ver la per­pen­di­cu­laire EF qui, venant abou­tir à la cir­con­fé­rence, sera le dia­mètre du cercle. Cela étant, elle doit pas­ser par le centre; si on divise donc cette ligne en deux éga­le­ment au point H, on aura ce qu’on cherche.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, revue par Jacques Oza­nam (XVIIIe siècle)

«Trou­ver le centre d’un cercle don­né.

Diagramme

Il faut trou­ver le centre du cercle X. Tirez dans le cercle X une corde AB, à volon­té. Divi­sez cette corde en deux par­ties égales AE et EB. Du point E, éle­vez à cette même corde la per­pen­di­cu­laire CD, qui se ter­mine de part et d’autre à la cir­con­fé­rence. Enfin, divi­sez aus­si cette per­pen­di­cu­laire en deux par­ties égales CF et FD. Le point F sera le centre deman­dé.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales, revue par Jacques Audierne (XVIIIe siècle)

«Trou­ver le centre d’un cercle don­né.

Diagramme

Soit ΑΒΓ le cercle don­né; il faut trou­ver le centre du cercle ΑΒΓ. Condui­sons dans le cercle une droite quel­conque ΑΒ, par­ta­geons-la en deux par­ties égales au point Δ; du point Δ, condui­sons ΓΔ per­pen­di­cu­laire à ΑΒ, pro­lon­geons ΓΔ en Ε, et par­ta­geons ΓΕ en deux par­ties égales en Ζ; je dis que le point Ζ est le centre du cercle ΑΒΓ.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Fran­çois Pey­rard (XIXe siècle)

«Trou­ver le centre d’un cercle don­né.

Diagramme

Je sup­pose que l’on donne le cercle ABC et je pro­pose d’en trou­ver le centre. Pour le trou­ver, menez dans ce cercle la ligne droite AC, qui coupe la cir­con­fé­rence où il vous plai­ra, comme aux points A et C. Divi­sez la ligne AC en deux éga­le­ment au point E. Et par ce point, menez la ligne BED per­pen­di­cu­laire à AC. Enfin, cou­pez la ligne BD en deux éga­le­ment au point F. Cela étant, je dis que le point F est le centre du cercle ABC.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Jacques Rohault (XVIIe siècle)

«Trou­ver le centre F d’un cercle don­né ABC.

Diagramme

Soit AC, une droite mi-par­tie en E, EB per­pen­di­cu­laire à AC, pro­duite jusques à la cir­con­fé­rence en B et D, et icelle cou­pée éga­le­ment en F. F sera le centre du cercle.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion du père Georges Four­nier (XVIIe siècle)

«Trou­ver le centre d’un cercle don­né.

Diagramme

Soit dans le cercle CHIB tirée une ligne contin­gente HB, laquelle soit divi­sée en deux éga­le­ment en O, duquel point soit tirée la per­pen­di­cu­laire de côté et d’autre jusques à la cir­con­fé­rence comme CI, et icelle soit divi­sée en deux éga­le­ment comme en F.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Jean Errard (XVIIe siècle)

«Trou­ver le centre d’un cercle don­né.

Diagramme

Soit ABC le cercle don­né, duquel il faille trou­ver le centre. Dans ledit cercle, je tire à l’aventure la ligne AC; laquelle je divise éga­le­ment au point D; duquel je dresse la per­pen­di­cu­laire DB; laquelle, allon­gée des deux côtés, ren­contre la cir­con­fé­rence ès points B et E. Et cette ligne BE, je la divise encore éga­le­ment au point F. Je dis que le point F est le centre du cercle.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Jacques Pele­tier (XVIIe siècle)

«Trou­ver le centre du cercle don­né.

Diagramme

Soit le cercle don­né ABC, duquel il faut trou­ver le centre. Soit tirée la ligne BC à l’aventure, laquelle soit cou­pée en deux éga­le­ment et à droits angles par la ligne DA. Je dis qu’en DA est le centre du cercle.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Didier Dou­not (XVIIe siècle)

«Trou­ver le centre d’un cercle don­né.

Diagramme

Soit le cercle don­né ABC, duquel il faut trou­ver le centre. Soit tirée en ice­lui la ligne droite AC, qui coupe la cir­con­fé­rence comme que ce soit [c’est-à-dire de quelque façon que ce soit] ès points A et C : puis, soit icelle AC cou­pée en deux éga­le­ment et à droits angles par la ligne droite BD, se ter­mi­nant à la péri­phère [c’est-à-dire péri­phé­rie] ès points B et D : et fina­le­ment icelle BD soit aus­si cou­pée en deux éga­le­ment en F. Je dis que F est le centre du cercle pro­po­sé.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Didier Hen­rion (XVIIe siècle)

«Un cercle étant don­né, trou­ver le centre.

Diagramme

Soit le cercle don­né ABCD, duquel il faut trou­ver le centre. Soit menée une ligne quel­conque en ice­lui AC, laquelle soit divi­sée en deux éga­le­ment au point E; et par E, soit menée BD à angles droits, se ter­mi­nant de part et d’autre en la cir­con­fé­rence aux points B et D; et soit divi­sée en deux éga­le­ment au point F. Je dis que F est le centre du cercle pro­po­sé.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Pierre Le Mar­de­lé (XVIIe siècle)

«Trou­ver le centre F d’un cercle don­né ACBE.

Diagramme

DONNÉ.
Le cercle ACBE.
CHERCHÉ.
Le centre F de ce .
RÉSOLUTION.
Tirez la corde AB;
Cou­pez-la en deux éga­le­ment au point D;
Du point D, éle­vez sur AB la DC, et pro­lon­gez-la en E;
Cou­pez la droite CE en deux éga­le­ment au point F; ce point F sera le centre cher­ché du don­né ACBE.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Samuel König (XVIIIe siècle)

«Trou­ver le centre d’un cercle don­né.

Diagramme

HYPOTHÈSE.
ABC est don­né.
CONSTRUCTION.
AC est — arbi­traire;
AE 2/2 EC;
EB AC;
BED est —;
DF 2/2 FB;
F est centre du .»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion de Pierre Héri­gone (XVIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum inve­nire.

Diagramme

Sit datus cir­cu­lus ΑΒΓ; opor­tet igi­tur ΑΒΓ cir­cu­li cen­trum inve­nire. Duca­tur ali­qua in ipso utcunque rec­ta ΑΒ, et sece­tur bifa­riam in Δ punc­to, et a Δ [ipsi] ΑΒ ad rec­tos duca­tur ΓΔ, et pro­du­ca­tur in Ε, et sece­tur ΓΕ bifa­riam in Ζ; dico Ζ cen­trum esse ΑΒΓ cir­cu­li.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Fran­çois Pey­rard (XIXe siècle)

«Dati cir­cu­li ABC cen­trum F repe­rire.

Diagramme

Duc­tam AC divide bifa­riam in E. Ad punc­tum E, erige per­pen­di­cu­la­rem attin­gen­tem ambi­tum in B et D, hanc BD bifa­riam seca in F. Punc­tum F erit cen­trum cir­cu­li.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du père Georges Four­nier (XVIIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum inve­nire.

Diagramme

Sit datus cir­cu­lus ΑΒΓ; opor­tet igi­tur ΑΒΓ cir­cu­li cen­trum inve­nire. Duca­tur in ipso utcunque rec­ta ali­qua ΑΒ, et sece­tur bifa­riam in punc­to Δ, et a Δ rectæ ΑΒ ad rec­tos duca­tur ΓΔ, et pro­du­ca­tur in Ε, et sece­tur ΓΕ bifa­riam in Ζ; dico Ζ cen­trum esse cir­cu­li ΑΒΓ.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Johann Wil­helm Came­rer et Karl Frie­drich Hau­ber (XIXe siècle)

«Dati cir­cu­li ABC cen­trum F repe­rire.

Diagramme

Duc in cir­cu­lo rec­tam AC utcunque. Quam bise­ca in E. Per E, duc per­pen­di­cu­la­rem DB. Hanc bise­ca in F. Erit F cen­trum.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine d’Isaac Bar­row (XVIIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum inve­nire.

Diagramme

Sit datus cir­cu­lus ΑΒΓ. Opor­tet igi­tur cir­cu­li ΑΒΓ cen­trum inve­nire. Pro­du­ca­tur in eum utcunque rec­ta ΑΒ, et in punc­to Δ in duas partes æquales sece­tur, et a Δ ad rec­tam ΑΒ per­pen­di­cu­la­ris duca­tur ΔΓ, et pro­du­ca­tur ad Ε, et ΓΕ in duas partes æquales sece­tur in Ζ. Dico Ζ cen­trum esse cir­cu­li ΑΒΓ.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Johan Lud­vig Hei­berg et Hein­rich Menge (XIXe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum repe­rire.

Diagramme

In cir­cu­lo ABC, duca­tur utcunque rec­ta AC, qua bisec­ta in D; per idem punc­tum D, aga­tur per­pen­di­cu­la­ris BG, attin­gens utrimque ambi­tum. Divi­da­tur deinde rec­ta BG, bifa­riam in F, eritque punc­tum F cen­trum cir­cu­li.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du père Charles Mal­a­pert, dit Caro­lus Mal­a­per­tius (XVIIe siècle)

«Dati cir­cu­li BCD cen­trum A repe­rire.

Diagramme

In cir­cu­lo duc­ta quæ­li­bet BD divi­da­tur bifa­riam in F. Ex F eri­ga­tur utrimque per­pen­di­cu­la­ris CE usque ad cir­cum­fe­ren­tiam. Ista CE bise­ce­tur in A. Dico punc­tum A esse cen­trum cir­cu­li.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Hen­rik Coets (XVIIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum inve­nire.

Diagramme

Esto datus cir­cu­lus ABC, cujus cen­trum inve­nire opor­teat. Duca­tur quæ­dam rec­ta linea AB utcunque, bise­ce­turque in D; atque per D ipsi AB ad angu­los rec­tos eri­ga­tur DC, quæ pro­du­ca­tur in E, et bise­ce­tur CE in F. Dico F cen­trum esse cir­cu­li ABC.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Johann Lantz (XVIIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum inve­nire.

Diagramme

Datus sit cir­cu­lus ABC. Opor­tet cen­trum ejus inve­nire. Suman­tur in ejus cir­cum­fe­ren­tia duo quæ­li­bet punc­ta A et B, quæ jun­gan­tur per rec­tam AB. Tum sece­tur AB bifa­riam in punc­to E, ex quo per­pen­di­cu­la­ris eri­ga­tur EF, eaque exten­da­tur usque donec cir­cu­li cir­cum­fe­ren­tiam utrimque secet in C et in D. Denique sece­tur ipsa CD bifa­riam quoque in punc­to F. Dico in CD esse cen­trum cir­cu­li, et esse pro­prie punc­tum F.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Nicolò di Mar­ti­no (XVIIIe siècle)

«Cir­cu­li pro­po­si­ti cen­trum inve­nire.

Diagramme

Sit cir­cu­lus pro­po­si­tus ABC, cujus volu­mus cen­trum inve­nire. Duco in ipso cir­cu­lo lineam AC qua­li­ter­cumque contin­gat, quam divi­do per æqua­lia in punc­to D, a quo duco per­pen­di­cu­la­rem ad lineam AC, quam appli­co cir­cum­fe­ren­tiæ ex utraque parte. Sitque EDB, quam rur­sus divi­do per æqua­lia in punc­to F, quem dico esse cen­trum cir­cu­li.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Gio­van­ni Cam­pa­no, dit Cam­pa­nus de Novare (XIIIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum inve­nire.

Diagramme

Esto datus ABC cir­cu­lus, cujus opor­teat inve­nire cen­trum. Duca­tur in ipso ABC cir­cu­lo rec­ta quæ­dam linea BC, quæ bifa­riam sece­tur in D. Et a punc­to D datæ rectæ lineæ BC ad angu­los rec­tos exci­te­tur DA, pro­du­ca­turque in rec­tum usque ad E. Sece­tur tan­dem AE bifa­riam in punc­to F. Dico quod F punc­tum cen­trum est ipsius dati ABC cir­cu­li.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine d’Oronce Fine (XVIe siècle)

«Cir­cu­li pro­po­si­ti cen­trum inve­nire.

Diagramme

Sit cir­cu­lus pro­po­si­tus ABC, cujus volu­mus cen­trum inve­nire. Duco in ipso cir­cu­lo lineam AC qua­li­ter­cumque contin­gat, quam divi­do par æqua­lia in punc­to D, a quo duco per­pen­di­cu­la­rem ad lineam AC, quam appli­co cir­cum­fe­ren­tiæ ex utraque parte; sitque EDB, quam rur­sus divi­do per æqua­lia in punc­to F, quem dico esse cen­trum cir­cu­li.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Bar­to­lo­meo Zam­ber­ti (XVIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum repe­rire.

Diagramme

Sit inve­nien­dum cen­trum cir­cu­li ACB. Duca­tur utcumque linea AB, quæ divi­da­tur bifa­riam in D, exci­te­turque in D per­pen­di­cu­la­ris EC, quæ divi­da­tur bifa­riam in F. Dico punc­tum F esse cen­trum cir­cu­li.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du père Claude-Fran­çois Mil­liet de Chales (XVIIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum inve­nire.

Diagramme

Sit datus cir­cu­lus ABC; opor­tet cir­cu­li ABC cen­trum inve­nire. Duca­tur in ipso quæ­dam rec­ta linea AB utcunque, et in punc­to D bifa­riam sece­tur. A punc­to autem D ipsi AB ad rec­tos angu­los duc­ta DC in E pro­du­ca­tur; et sece­tur CE bifa­riam in F. Dico punc­tum F cir­cu­li ABC cen­trum esse.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Fede­ri­co Com­man­di­no (XVIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum inve­nire.

Diagramme

Duca­tur in cir­cu­lo quæ­dam rec­ta linea AB utcunque, et in punc­to D bifa­riam sece­tur. A punc­to autem D ipsi AB ad rec­tos angu­los duca­tur DC. Rec­ta CD pro­du­ca­tur in E, et bifa­riam sece­tur in F. Dico punc­tum F esse cen­trum cir­cu­li ABC.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Fede­ri­co Com­man­di­no, revue par Joa­chim Fre­de­rik Ramus (XVIIIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum inve­nire.

Diagramme

Sit datus cir­cu­lus ΑΒΓ; opor­tet cir­cu­li ΑΒΓ cen­trum inve­nire. Duca­tur in ipso quæ­dam rec­ta linea ΑΒ utcunque, et in punc­to Δ bifa­riam sece­tur. A punc­to autem Δ ipsi ΑΒ ad rec­tos angu­los duc­ta ΔΓ pro­du­ca­tur in Ε; et sece­tur ΓΕ bifa­riam in Ζ. Dico punc­tum Ζ cen­trum esse cir­cu­li ΑΒΓ.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Fede­ri­co Com­man­di­no, revue par David Gre­go­ry (XVIIIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum inve­nire.

Diagramme

Sit cir­cu­lus datus, atque pro­po­si­tum — illius cen­trum inve­nire. Duca­tur in cir­cu­lo rec­ta quæ­dam linea utcunque, ita tamen ut utraque ejus extre­mi­tas in cir­cu­li sit cir­cum­fe­ren­tia, hac deinde rec­ta bifa­riam divi­sa. A punc­to divi­sio­nis hujus ad angu­los rec­tos linea, quæ simi­li­ter utramque extre­mi­ta­tem in cir­cum­fe­ren­tia habeat, exci­te­tur. Quod si tan­dem hæc ad rec­tos duc­ta bifa­riam divi­sa fue­rit : punc­tum hujus divi­sio­nis cen­trum cir­cu­li erit.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Johann Scheu­bel (XVIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum repe­rire.

Diagramme

Sit cir­cu­lus datus ABCD, cujus cen­trum opor­tet inve­nire. Duca­tur in eo linea utcunque AC, quæ bifa­riam divi­da­tur in E, et per E ad AC per­pen­di­cu­la­ris aga­tur BD, utrinque in per­iphe­ria ter­mi­na­ta in punc­tis B et D. Hac igi­tur bifa­riam sec­ta in F; dico F esse cen­trum cir­cu­li pro­po­si­ti.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du père Chris­toph Cla­vius (XVIe siècle)

«Dati cir­cu­li ABC cen­trum F inve­nire.

Diagramme

Ad duc­tam in cir­cu­lo rec­tam AC bifa­riamque sec­tam in E, eri­ga­tur per­pen­di­cu­la­ris, quæ utrinque in per­iphe­riam ter­mi­na­ta, etiam sece­tur bifa­riam in F — cen­tro cir­cu­li.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine d’Ambrosius Rhode (XVIIe siècle)

«Dati cir­cu­li ADBE cen­trum inve­nire.

Diagramme

In dato cir­cu­lo utcumque duca­tur rec­ta AB, quæ bifa­riam divi­da­tur in C. A punc­to C eri­ga­tur per­pen­di­cu­la­ris CD [in] cir­cu­li per­iphe­ria ter­mi­na­ta in D et E. Dico in rec­ta DE esse dati cir­cu­li cen­trum.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Gemi­nia­no Ron­del­li (XVIIIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum inve­nire.

Diagramme

In dato cir­cu­lo AGBE, pro­du­ca­tur contin­gens ali­qua rec­ta AB, quæ sece­tur bifa­riam in D, eique per signum D per­pen­di­cu­la­ris exci­te­tur GE, ad utrasque cir­cum­fe­ren­tiæ partes. Sec­ta bifa­riam GE in Z, dico esse Z cen­trum cir­cu­li AGBE.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Fran­çois de Foix, comte de Can­dale (XVIe siècle)

«Dati cir­cu­li ACB cen­trum inve­nire.

Diagramme

Duca­tur in ipso rec­ta AB utcunque, quæ bise­ce­tur in D. Ex punc­to D ipsi AB ad rec­tos duc­ta DC pro­du­ca­tur in E, et bise­ce­tur CE in F. Dico punc­tum F cen­trum esse cir­cu­li ABC.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Georg Frie­drich Bär­mann (XVIIIe siècle)

«Dati cir­cu­li ABC cen­trum repe­rire.

Diagramme

Duca­tur in eo utcunque linea BC, divi­saque bifa­riam in E, aga­tur per­pen­di­cu­la­ris DEA, et divi­da­tur DA bifa­riam in F. Dico F esse cen­trum cir­cu­li.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Car­lo Edoar­do Filip­pa (XVIIe siècle)

«Dati cir­cu­li ABCD cen­trum inve­nire.

Diagramme

Sub­ten­da­tur AC utcunque, quam bifa­riam seca in punc­to E, per quod duca­tur per­pen­di­cu­la­ris BD, quam bifa­riam seca in F. Dico punc­tum F esse cen­trum quæ­si­tum.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du frère Elia Asto­ri­ni (XVIIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum repe­rire.

Diagramme

Rec­ta BD, secans aliam AC bifa­riam, et ad angu­los rec­tos in E, sece­tur bifa­riam in F. Dico F esse cen­trum.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du père Chris­toph Grien­ber­ger (XVIIe siècle)

«Dati cir­cu­li cen­trum repe­rire.

Diagramme

Cir­cu­li AEBD cen­trum sit repe­rien­dum. Duca­tur in eo chor­da ali­qua AB, quæ bifa­riam sece­tur in C; et exci­te­tur ex C, rec­ta linea ad angu­los rec­tos ipsi AB, quæ sit ECD pro­du­cen­da utrimque donec secet cir­cum­fe­ren­tiam cir­cu­li in punc­tis D, E : hæc rec­ta DE bifa­riam sece­tur in F. Dico hoc punc­tum F esse cen­trum cir­cu­li dati.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine du père Claude Richard (XVIIe siècle)

«Repe­riun­dum est cen­trum in dato cir­cu­lo.

Diagramme

Sit datus cir­cu­lus ΑΒΓ, cujus cen­trum sit inves­ti­gan­dum. Duca­tur in eo linea for­tui­to utrinque ambi­tus lineam attin­gens, quæ sit ΑΒ. Hæc sece­tur in duas partes æquales in punc­to Δ, a quo edu­ca­tur ad angu­los rec­tos ipsi ΑΒ, ΔΓ rec­ta, quæ direc­ta exten­sione pro­du­ca­tur in Ε deor­sum, divi­da­turque bifa­riam in Ζ punc­to. Dico Ζ punc­tum esse cen­trum cir­cu­li ΑΒΓ pro­po­si­ti.»
— Pro­po­si­tion dans la tra­duc­tion latine de Joa­chim Came­ra­rius (XVIe siècle)

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* En grec «Τὰ Στοιχεῖα». Haut

** En grec «Ἡ Στοιχείωσις». Haut

*** En grec Εὐκλείδης. Autre­fois trans­crit Euclides. On l’a long­temps confon­du avec Euclide de Mégare, phi­lo­sophe, «bien qu’ils n’aient pas été contem­po­rains et qu’ils aient dif­fé­ré l’un de l’autre autant par leur genre d’esprit… que par la nature de leurs tra­vaux» (Louis Figuier). Haut

**** En grec Ἱπποκράτης ὁ Χῖος. Par­fois trans­crit Hip­po­crate de Chio. À ne pas confondre avec Hip­po­crate de Cos, le célèbre méde­cin, qui vécut à la même époque. Haut

***** En grec Ἑρμότιμος ὁ Κολοφώνιος. Haut

****** En grec Εὔδοξος ὁ Κνίδιος. Haut

******* En grec Θεαίτητος ὁ Ἀθηναῖος. Haut

******** En grec Θεύδιος ὁ Μάγνης. Haut

********* En grec «…Εὐκλείδης ὁ “Τὰ Στοιχεῖα” συναγαγὼν καὶ πολλὰ μὲν τῶν Εὐδόξου συντάξας, πολλὰ δὲ τῶν Θεαιτήτου τελεωσάμενος, ἔτι δὲ τὰ μαλακώτερον δεικνύμενα τοῖς ἔμπροσθεν εἰς ἀνελέγκτους ἀποδείξεις ἀναγαγών». Haut

********** En grec «…μὴ εἶναι βασιλικὴν ἀτραπὸν ἐπὶ γεωμετρίαν». Haut

*********** «De sub­ti­li­tate», ch. 16. Haut

************ Hen­ry Pem­ber­ton, «Élé­ments de la phi­lo­so­phie new­to­nienne». Haut

************* Gil­berte Périer, «Pré­face au “Trai­té de l’équilibre des liqueurs et de la pesan­teur de la masse de l’air”». Haut