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« Textes mathématiques babyloniens »

éd. E. J. Brill, Leyde

éd. E. J. Brill, Leyde

Il s’agit de textes mathé­ma­tiques méso­po­ta­miens. La masse impo­sante de tablettes mathé­ma­tiques cunéi­formes, déchif­frée, tra­duite et com­men­tée dans les décen­nies 1920-1940 en fran­çais par Fran­çois Thu­reau-Dan­gin et en alle­mand par Otto Eduard Neu­ge­bauer, reste assez mécon­nue en dehors du cercle res­treint des spé­cia­listes. Pour­tant, ces tablettes mathé­ma­tiques sont un fait cultu­rel unique et pro­di­gieux eu égard à leur anti­qui­té, qui remonte le plus sou­vent à l’ère paléo­ba­by­lo­nienne (2004-1595 av. J.-C.) et par­fois avant. Elles témoignent, dans le manie­ment des nombres, d’un immense savoir arith­mé­tique et algé­brique, qui ne sera redé­cou­vert qu’au IIIe siècle apr. J.-C. par Dio­phante, le « Baby­lo­nien hel­lé­ni­sé », qui lui impo­se­ra le moule de la logique grecque pour en créer l’algèbre ; celle-ci sera à son tour reprise et por­tée à sa per­fec­tion par les Arabes au VIIIe-IXe siècle. Ain­si, la mai­son de la sagesse de Bag­dad suc­cé­de­ra, par-delà les siècles, à des mai­sons de la sagesse méso­po­ta­miennes, dis­pa­rues sous les sables ira­kiens. « Ce n’est pas dans les milieux pytha­go­ri­ciens de la Grèce antique, au VIe siècle av. J.-C., que sont nées la théo­rie des nombres et l’arithmétique théo­rique. C’est à Baby­lone, au cœur de l’Irak actuel… »* Com­ment expli­quer que la tra­di­tion grecque soit muette à ce sujet ? Autant elle se plaît à faire hon­neur aux Égyp­tiens et à leur dieu-scribe Thoth, aux­quels elle attri­bue à tort l’invention « des nombres, du cal­cul, de la géo­mé­trie et de l’astronomie, des jeux [de dames] et de l’écriture »** ; autant elle ne dit rien des Méso­po­ta­miens, qui en sont les pre­miers maîtres et les véri­tables ins­ti­ga­teurs. Sans doute les Mèdes, puis les Perses, en pre­nant pos­ses­sion de la Méso­po­ta­mie dès le VIIe siècle av. J.-C., en ont-ils inter­dit l’accès aux Grecs his­to­ri­que­ment, géo­gra­phi­que­ment. Sans doute ces der­niers, éprou­vés par leur guerre de défense contre l’Empire perse, ont-ils été por­tés à jeter le dis­cré­dit sur le savoir des enva­his­seurs. Il n’empêche que l’aventure numé­rique débute à Sumer, Akkad et Baby­lone, et nulle part ailleurs.

Lorsqu’on parle des mathé­ma­tiques méso­po­ta­miennes, c’est en pre­mier lieu à leur savant sys­tème de numé­ra­tion que l’on pense, un sys­tème de posi­tion sexa­gé­si­mal (de base 60), ana­logue à notre sys­tème déci­mal (de base 10). Notre divi­sion des heures en 60 minutes, des minutes en 60 secondes, etc. nous vient de ce sys­tème. Les minutes, les secondes, etc. ne sont pas « don­nées » par la nature ; nous ne les divi­sons sexa­gé­si­ma­le­ment que parce que les scribes méso­po­ta­miens avaient un sys­tème sexa­gé­si­mal. Cet incom­pa­rable ins­tru­ment dont ils dis­po­saient, était de nature à leur apla­nir consi­dé­ra­ble­ment la voie menant à la science des nombres : « Avec un sys­tème de numé­ra­tion d’une telle sou­plesse », explique Thu­reau-Dan­gin***, « les scribes de Sumer et d’Akkad étaient remar­qua­ble­ment pré­pa­rés à l’art de résoudre les pro­blèmes numé­riques… Les exemples de pro­blèmes du pre­mier et du second degré que nous [allons] pas­ser en revue, montrent assez que [ces] mathé­ma­ti­ciens pos­sé­daient tout l’essentiel de la tech­nique algé­brique : réduc­tion des termes sem­blables, éli­mi­na­tion d’une incon­nue par sub­sti­tu­tion… La maî­trise dont ils font preuve est d’autant plus remar­quable qu’ils n’avaient pas à leur dis­po­si­tion l’inap­préciable res­source des sym­boles et que le sym­bole même de l’inconnue leur fai­sait défaut. » Tels qu’ils sont conser­vés, les textes mathé­ma­tiques méso­po­ta­miens peuvent se répar­tir en trois centres d’intérêt, bien que les fron­tières entre les trois soient assez mal tra­cées : « Le pre­mier est… consti­tué par le cal­cul — non pas le simple manie­ment des opé­ra­tions… mais [un] ensemble des pro­cé­dures déjà com­plexes, dans les­quelles les scribes baby­lo­niens se révèlent [être] des vir­tuoses… Cet apport, indé­nia­ble­ment le plus ori­gi­nal de [leur] mathé­ma­tique, peut être consi­dé­ré comme rele­vant du cal­cul algé­brique. Un second centre d’intérêt consiste dans les pro­prié­tés des nombres, sur les­quelles la pra­tique du cal­cul attire néces­sai­re­ment l’attention… Enfin l’application des pro­cé­dés algé­briques… à des cal­culs por­tant sur des gran­deurs, prin­ci­pa­le­ment de type géo­mé­trique, forme le troi­sième centre d’intérêt », dit M. Mau­rice Caveing.

l’aventure numé­rique débute à Sumer, Akkad et Baby­lone, et nulle part ailleurs

Voi­ci un pas­sage qui don­ne­ra une idée des textes mathé­ma­tiques méso­po­ta­miens : « J’ai addi­tion­né 7 fois le côté de mon car­ré et 11 fois la sur­face, j’ai trou­vé : 6,25 [c’est-à-dire 11𝑥² + 7𝑥 = 6,25]. CALCUL : Tu ins­cri­ras 7 et 11. Tu mul­ti­plie­ras 11 par 6,25 : 68,75. Tu frac­tion­ne­ras 7 en deux : 3,[5]. Tu élè­ve­ras 3,5 au car­ré : 12,25. Tu ajou­te­ras ce résul­tat à 68,75 : 81. C’est le car­ré de 9. Tu sous­trai­ras 3,5, que tu as éle­vé au car­ré, de 9 : tu obtiens 5,5, que tu ins­cri­ras. L’inverse de 11 ne peut être cal­cu­lé, et je dois me poser la ques­tion : que dois-je poser à 11 qui me donne 5,5 [c’est-à-dire 5,5 = 11𝑥] ? RÉPONSE : Son quo­tient 0,5. Le côté de mon car­ré est 0,5 »****.

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Consultez cette bibliographie succincte en langue française

  • Roger Cara­ti­ni, « Les Mathé­ma­ti­ciens de Baby­lone » (éd. Presses de la Renais­sance, Paris)
  • Mau­rice Caveing, « Essai sur le savoir mathé­ma­tique, dans la Méso­po­ta­mie et l’Égypte anciennes » (éd. Presses uni­ver­si­taires de Lille, coll. His­toire des sciences, Villeneuve-d’Ascq).

* Roger Cara­ti­ni, « Les Mathé­ma­ti­ciens de Baby­lone », p. 174. Haut

** Pla­ton, « Phèdre », 274d. Haut

*** p. XIX & XXXIV. Haut

**** Dans Roger Cara­ti­ni, « Les Mathé­ma­ti­ciens de Baby­lone », p. 219. La nota­tion sexa­gé­si­male a été trans­po­sée en nota­tion déci­male pour faci­li­ter la lec­ture. Haut