« Textes mathématiques babyloniens »

éd. E. J. Brill, Leyde

Il s’agit de textes ma­thé­ma­tiques mé­so­po­ta­miens. La masse im­po­sante de ta­blettes ma­thé­ma­tiques cu­néi­formes, dé­chif­frée, tra­duite et com­men­tée dans les dé­cen­nies 1920-1940 en fran­çais par Fran­çois Thu­reau-Dan­gin et en al­le­mand par Otto Eduard Neu­ge­bauer, reste as­sez mé­con­nue en de­hors du cercle res­treint des spé­cia­listes. Pour­tant, ces ta­blettes ma­thé­ma­tiques sont un fait cultu­rel unique et pro­di­gieux eu égard à leur an­ti­quité, qui re­monte le plus sou­vent à l’ère pa­léo­ba­by­lo­nienne (2004-1595 av. J.-C.) et par­fois avant. Elles té­moignent, dans le ma­nie­ment des nombres, d’un im­mense sa­voir arith­mé­tique et al­gé­brique, qui ne sera re­dé­cou­vert qu’au III^e siècle apr. J.-C. par Dio­phante, le « Ba­by­lo­nien hel­lé­nisé », qui lui im­po­sera le moule de la lo­gique grecque pour en créer l’algèbre ; celle-ci sera à son tour re­prise et por­tée à sa per­fec­tion par les Arabes au VIII^e-IX^e siècle. Ainsi, la mai­son de la sa­gesse de Bag­dad suc­cé­dera, par-delà les siècles, à des mai­sons de la sa­gesse mé­so­po­ta­miennes, dis­pa­rues sous les sables ira­kiens. « Ce n’est pas dans les mi­lieux py­tha­go­ri­ciens de la Grèce an­tique, au VI^e siècle av. J.-C., que sont nées la théo­rie des nombres et l’arithmétique théo­rique. C’est à Ba­by­lone, au cœur de l’Irak ac­tuel… »¹ Com­ment ex­pli­quer que la tra­di­tion grecque soit muette à ce su­jet ? Au­tant elle se plaît à faire hon­neur aux Égyp­tiens et à leur dieu-scribe Thoth, aux­quels elle at­tri­bue à tort l’invention « des nombres, du cal­cul, de la géo­mé­trie et de l’astronomie, des jeux [de dames] et de l’écriture »² ; au­tant elle ne dit rien des Mé­so­po­ta­miens, qui en sont les pre­miers maîtres et les vé­ri­tables ins­ti­ga­teurs. Sans doute les Mèdes, puis les Perses, en pre­nant pos­ses­sion de la Mé­so­po­ta­mie dès le VII^e siècle av. J.-C., en ont-ils in­ter­dit l’accès aux Grecs his­to­ri­que­ment, géo­gra­phi­que­ment. Sans doute ces der­niers, éprou­vés par leur guerre de dé­fense contre l’Empire perse, ont-ils été por­tés à je­ter le dis­cré­dit sur le sa­voir des en­va­his­seurs. Il n’empêche que l’aventure nu­mé­rique dé­bute à Su­mer, Ak­kad et Ba­by­lone, et nulle part ailleurs.

Lorsqu’on parle des ma­thé­ma­tiques mé­so­po­ta­miennes, c’est en pre­mier lieu à leur sa­vant sys­tème de nu­mé­ra­tion que l’on pense, un sys­tème de po­si­tion sexa­gé­si­mal (de base 60), ana­logue à notre sys­tème dé­ci­mal (de base 10). Notre di­vi­sion des heures en 60 mi­nutes, des mi­nutes en 60 se­condes, etc. nous vient de ce sys­tème. Les mi­nutes, les se­condes, etc. ne sont pas « don­nées » par la na­ture ; nous ne les di­vi­sons sexa­gé­si­ma­le­ment que parce que les scribes mé­so­po­ta­miens avaient un sys­tème sexa­gé­si­mal. Cet in­com­pa­rable ins­tru­ment dont ils dis­po­saient, était de na­ture à leur apla­nir consi­dé­ra­ble­ment la voie me­nant à la science des nombres : « Avec un sys­tème de nu­mé­ra­tion d’une telle sou­plesse », ex­plique Thu­reau-Dan­gin³, « les scribes de Su­mer et d’Akkad étaient re­mar­qua­ble­ment pré­pa­rés à l’art de ré­soudre les pro­blèmes nu­mé­riques… Les exemples de pro­blèmes du pre­mier et du se­cond de­gré que nous [al­lons] pas­ser en re­vue, montrent as­sez que [ces] ma­thé­ma­ti­ciens pos­sé­daient tout l’essentiel de la tech­nique al­gé­brique : ré­duc­tion des termes sem­blables, éli­mi­na­tion d’une in­con­nue par sub­sti­tu­tion… La maî­trise dont ils font preuve est d’autant plus re­mar­quable qu’ils n’avaient pas à leur dis­po­si­tion l’inap­préciable res­source des sym­boles et que le sym­bole même de l’inconnue leur fai­sait dé­faut. » Tels qu’ils sont conser­vés, les textes ma­thé­ma­tiques mé­so­po­ta­miens peuvent se ré­par­tir en trois centres d’intérêt, bien que les fron­tières entre les trois soient as­sez mal tra­cées : « Le pre­mier est… consti­tué par le cal­cul — non pas le simple ma­nie­ment des opé­ra­tions… mais [un] en­semble des pro­cé­dures déjà com­plexes, dans les­quelles les scribes ba­by­lo­niens se ré­vèlent [être] des vir­tuoses… Cet ap­port, in­dé­nia­ble­ment le plus ori­gi­nal de [leur] ma­thé­ma­tique, peut être consi­déré comme re­le­vant du cal­cul al­gé­brique. Un se­cond centre d’intérêt consiste dans les pro­prié­tés des nombres, sur les­quelles la pra­tique du cal­cul at­tire né­ces­sai­re­ment l’attention… En­fin l’application des pro­cé­dés al­gé­briques… à des cal­culs por­tant sur des gran­deurs, prin­ci­pa­le­ment de type géo­mé­trique, forme le troi­sième centre d’intérêt », dit M. Mau­rice Ca­veing.

l’aventure nu­mé­rique dé­bute à Su­mer, Ak­kad et Ba­by­lone, et nulle part ailleurs

Voici un pas­sage qui don­nera une idée des textes ma­thé­ma­tiques mé­so­po­ta­miens : « J’ai ad­di­tionné 7 fois le côté de mon carré et 11 fois la sur­face, j’ai trouvé : 6,25 [c’est-à-dire 11𝑥² + 7𝑥 = 6,25]. CALCUL : Tu ins­cri­ras 7 et 11. Tu mul­ti­plie­ras 11 par 6,25 : 68,75. Tu frac­tion­ne­ras 7 en deux : 3,[5]. Tu élè­ve­ras 3,5 au carré : 12,25. Tu ajou­te­ras ce ré­sul­tat à 68,75 : 81. C’est le carré de 9. Tu sous­trai­ras 3,5, que tu as élevé au carré, de 9 : tu ob­tiens 5,5, que tu ins­cri­ras. L’inverse de 11 ne peut être cal­culé, et je dois me po­ser la ques­tion : que dois-je po­ser à 11 qui me donne 5,5 [c’est-à-dire 5,5 = 11𝑥] ? RÉPONSE : Son quo­tient 0,5. Le côté de mon carré est 0,5 »⁴.

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• « Nu­mé­ra­tion et Mé­tro­lo­gie su­mé­riennes » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 18, n^o 3, p. 123-142 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « L’Origine du sys­tème sexa­gé­si­mal » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 25, n^o 3, p. 115-118 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « Le Sys­tème ter­naire dans la nu­mé­ra­tion su­mé­rienne » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 25, n^o 3, p. 119-121 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « La Di­vi­sion du cercle » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 25, n^o 4, p. 187-188 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « L’Origine du sys­tème sexa­gé­si­mal : un post-scrip­tum » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 26, n^o 1, p. 43 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « La Gra­phie du sys­tème sexa­gé­si­mal » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 27, n^o 2, p. 73-78 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « Notes sur la ter­mi­no­lo­gie des textes ma­thé­ma­tiques » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 28, n^o 4, p. 195-198 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « Le Prisme ma­thé­ma­tique AO 8862 » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 29, n^o 1, p. 1-10 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « Ma­thé­ma­tique ba­by­lo­nienne » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 29, n^o 2, p. 59-66 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « Le Prisme ma­thé­ma­tique AO 8862 : un post—scriptum » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 29, n^o 2, p. 89-90 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « La Ta­blette de Stras­bourg n^o 11 » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 31, n^o 1, p. 30 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « Une Nou­velle Ta­blette ma­thé­ma­tique de Warka » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 31, n^o 2, p. 61-69 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « En­core une fois la ta­blette de Stras­bourg n^o 11 » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 31, n^o 2, p. 70 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « La Me­sure des vo­lumes, d’après une ta­blette in­édite du Bri­tish Mu­seum » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 32, n^o 1, p. 1-28 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « Ter­mi­no­lo­gie ma­thé­ma­tique ba­by­lo­nienne » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 32, n^o 4, p. 188 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « L’Équation du deuxième de­gré dans la ma­thé­ma­tique ba­by­lo­nienne, d’après une ta­blette in­édite du Bri­tish Mu­seum » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 33, n^o 1, p. 27-48 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « Textes ma­thé­ma­tiques ba­by­lo­niens [ar­ticle] » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 33, n^o 2, p. 65-84 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « Notes sur la ma­thé­ma­tique ba­by­lo­nienne, [part. 1] » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 33, n^o 3, p. 161-168 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « Notes sur la ma­thé­ma­tique ba­by­lo­nienne, [part. 2] » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 33, n^o 4, p. 180-184 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « Notes sur la ma­thé­ma­tique ba­by­lo­nienne, [part. 3] » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 34, n^o 1, p. 9-28 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « La Mé­thode de fausse po­si­tion et l’Origine de l’algèbre » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 35, n^o 1, p. 71-77 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale]
• « Notes sur la ma­thé­ma­tique ba­by­lo­nienne, [part. 4] » dans « Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale », vol. 37, n^o 1-2, p. 1-10 [Source : Re­vue d’assyriologie et d’archéologie orien­tale].

Consultez cette bibliographie succincte en langue française

• Ro­ger Ca­ra­tini, « Les Ma­thé­ma­ti­ciens de Ba­by­lone » (éd. Presses de la Re­nais­sance, Pa­ris)
• Mau­rice Ca­veing, « Es­sai sur le sa­voir ma­thé­ma­tique, dans la Mé­so­po­ta­mie et l’Égypte an­ciennes » (éd. Presses uni­ver­si­taires de Lille, coll. His­toire des sciences, Villeneuve-d’Ascq).